(1,5) Calcule
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V
onde T é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume
\iiint_{T}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dV
onde T é a bola de raio 2 centrada na origem, dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para transformar a integral em algo mais simples.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi].
Nesse sistema temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} \quad\text{e}\quad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando vira \rho^{2} e o elemento de volume acrescenta um \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo na integral, os limites são \rho de 0 a 2, \varphi de 0 a \pi, \theta de 0 a 2\pi.
Ficamos com
\iiint_{T}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2} \bigl(\rho^{2}\bigr)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2}\rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes, separamos:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho.
Calculando cada uma:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = 2,
\int_{0}^{2}\rho^{4}\,d\rho = \frac{\rho^{5}}{5}\Big|_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Multiplicando tudo,
2\pi \times 2 \times \frac{32}{5} = \frac{128\pi}{5}.

Resposta

\frac{128\pi}{5}

Exercícios relacionados