Calcule
onde
é a região limitada pela esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume
onde
é a bola de raio
centrada na origem, dada por
.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para transformar a integral em algo mais simples.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para transformar a integral em algo mais simples.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
,
.
Nesse sistema temos
Nesse sistema temos
Logo o integrando vira
e o elemento de volume acrescenta um
.
Passo 3
Substituindo na integral, os limites são
de
a
,
de
a
,
de
a
.
Ficamos com
Ficamos com
Passo 4
Como o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes, separamos:
Calculando cada uma:
Multiplicando tudo,