(1,5) Calcular a integral I=\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, onde R é a região do tada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. Sugestão: polares (x=r \cos (\theta) e y=r \operatorname{sen}(\theta) ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy
onde R é a região do plano compreendida entre as circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. O conteúdo aqui é o uso de coordenadas polares, em que fazemos a transformação
x = r\cos(\theta),\quad y = r\sin(\theta),
com elemento de área dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a condição 4 \le x^{2}+y^{2}\le 9 vira 2 \le r \le 3, e como não há restrição em \theta além de cobrir toda a região, temos
0 \le \theta \le 2\pi.
Assim a integral passa a ser
I = \int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para calcular a integral interna em r, note que
\int r\,e^{r^{2}}\,dr
é uma integral imediata via substituição u = r^{2}, du = 2r\,dr. Logo
\int_{2}^{3} r\,e^{r^{2}}\,dr = \frac12\int_{u=4}^{u=9} e^{u}\,du = \frac12\bigl[e^{u}\bigr]_{4}^{9} = \frac{e^{9}-e^{4}}{2}.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral em r na integral em \theta, obtemos
I = \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{9}-e^{4}}{2}\;d\theta = \frac{e^{9}-e^{4}}{2}\;\bigl[\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{e^{9}-e^{4}}{2}\;(2\pi) = \pi\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Resposta

I = \pi\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

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