O volume de um reservatório em função do tempo é dado em litros pela função:
V(t)=300+4 \log _{\frac{1}{2}}(t-1)
Considere que \mathrm{t} \geq 1, e t é dado em dias e \mathrm{V}(\mathrm{t}) é dado em litros. Sendo assim, após quantos dias o volume da piscina será de 284 litros?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de volume em litros
V(t)=300+4\log_{\tfrac12}(t-1)
para t\ge1 (dias) e pede o instante t em que V(t)=284. Vamos usar propriedades de logaritmo e a definição de logaritmo para resolver para t.

Passo 2

Igualamos V(t) a 284:
300 + 4\log_{\tfrac12}(t-1) = 284.

Passo 3

Isolamos o termo logarítmico: subtraindo 300 de ambos os lados e dividindo por 4,
\log_{\tfrac12}(t-1) = \frac{284-300}{4} = -4.

Passo 4

Pela definição de logaritmo, \log_{\tfrac12}(x)=-4 significa
\bigl(\tfrac12\bigr)^{-4} = x.
Aqui, x = t-1. Logo,
\bigl(\tfrac12\bigr)^{-4} = t-1.

Passo 5

Calculamos \bigl(\tfrac12\bigr)^{-4} = 2^4 = 16. Então
t-1 = 16 \quad\Longrightarrow\quad t = 17.

Resposta

O volume será de 284 litros após 17 dias.

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