Para cada função
,
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das funções
que a gente encontre os intervalos onde a função é côncava para cima (onde a segunda derivada é positiva) ou para baixo (onde a segunda derivada é negativa) e identifique os pontos de inflexão (onde a segunda derivada muda de sinal). Para isso, vamos calcular a derivada segunda de cada função, analisar seu sinal e verificar onde ela se anula ou deixa de existir.
Passo 2
Para
temos
Como
para todo
, a curva é sempre côncava para baixo em
. Não há ponto de inflexão porque a concavidade não muda.
Passo 3
Para
(domínio
) aplicamos a regra do quociente:
O sinal de
é o sinal de
. Logo
- em ,
(côncava para baixo);
- em ,
(côncava para cima).
Não há valor de em que
, e
nem pertence ao domínio, logo não ocorrem pontos de inflexão.
- em
- em
Não há valor de
Passo 4
Para
calculamos:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
vem de
. Assim:
- , concavidade para cima;
- , concavidade para baixo.
As raízes de são
e a concavidade muda de sinal neles, caracterizando pontos de inflexão. As coordenadas são
-
-
As raízes de
Resposta
Para
: côncava para baixo em
, sem ponto de inflexão.
Para
: côncava para baixo em
e côncava para cima em
, sem ponto de inflexão.
Para
: côncava para cima em
e côncava para baixo em
; pontos de inflexão em
e
.