Para cada função f(x)=3+5 x-x^2, g(x)=3 x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3,
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das funções
f(x)=3+5x - x^2, g(x)=3x^2x-2, h(x)=x^2x^2+3,
que a gente encontre os intervalos onde a função é côncava para cima (onde a segunda derivada é positiva) ou para baixo (onde a segunda derivada é negativa) e identifique os pontos de inflexão (onde a segunda derivada muda de sinal). Para isso, vamos calcular a derivada segunda de cada função, analisar seu sinal e verificar onde ela se anula ou deixa de existir.

Passo 2

Para f(x)=3+5x-x^2 temos
f'(x)=5-2x,
f''(x)=-2
Como ,f''(x)=-2<0 para todo x, a curva é sempre côncava para baixo em (-infty,infty). Não há ponto de inflexão porque a concavidade não muda.

Passo 3

Para g(x)=3x^2x-2 (domínio xneq2) aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=6x(x-2)-3x^2(x-2)^2 =3x(x-4)(x-2)^2,
g''(x) =ddxl(3x(x-4)(x-2)^2r) =24(x-2)^3
O sinal de g''(x) é o sinal de ,(x-2)^-3. Logo
- em (- infty,2), x-2<0Rightarrow g''(x)<0 (côncava para baixo);
- em (2,infty), x-2>0Rightarrow g''(x)>0 (côncava para cima).
Não há valor de x em que g''(x)=0, e x=2 nem pertence ao domínio, logo não ocorrem pontos de inflexão.

Passo 4

Para h(x)=x^2x^2+3 calculamos:
h'(x)=2x(x^2+3)-x^2cdot2x(x^2+3)^2 =6x(x^2+3)^2,
h''(x) =ddxl(6x(x^2+3)^2r) =18,(1-x^2)(x^2+3)^3
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de h''(x) vem de 1-x^2. Assim:
- |x|<1Rightarrow1-x^2>0, concavidade para cima;
- |x|>1Rightarrow1-x^2<0, concavidade para baixo.
As raízes de h''(x) são x=pm1 e a concavidade muda de sinal neles, caracterizando pontos de inflexão. As coordenadas são
l(-1,;h(-1)r)=l(-1,1(-1)^2+3r)=l(-1,14r),
l(1,;h(1)r)=l(1,11^2+3r)=l(1,14r)

Resposta

Para f(x)=3+5x-x^2: côncava para baixo em (-infty,infty), sem ponto de inflexão.
Para g(x)=3x^2x-2: côncava para baixo em (-infty,2) e côncava para cima em (2,infty), sem ponto de inflexão.
Para h(x)=x^2x^2+3: côncava para cima em (-1,1) e côncava para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty); pontos de inflexão em l(-1,tfrac14r) e l(1,tfrac14r).

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