Questão 4. Usando as técnicas de limite e/ou os resultados vistos em aula, em cada caso a seguir, estude a convergência das sequências.
*
, se
é par e sen
, se
é ímpar
*
Passo 1
O enunciado define a sequência é par},\ \sin(n), & se
é ímpar. \end{cases}]
O conteúdo aqui é estudo de convergência de sequência real, usando definição de limite e análise de subsequências.
Passo 2
Analisamos a subsequência de índices pares. Para
,
Como
, temos crescimento exponencial e
Logo, essa subsequência diverge para
.
Passo 3
Agora a subsequência de índices ímpares. Para
,
Sabemos que
para
não se aproxima de valor único, pois oscila em
e possui vários pontos de acumulação. Logo esta subsequência não converge (é oscilante).
Passo 4
Como uma subsequência diverge para
e outra não converge, a sequência original não pode ter limite finito nem infinito único. Portanto
não converge.
Resposta
A sequência
diverge (não converge).