Questão 4. Usando as técnicas de limite e/ou os resultados vistos em aula, em cada caso a seguir, estude a convergência das sequências.
* an=e^n, se n é par e sen (n), se n é ímpar

Passo 1

O enunciado define a sequência é par},\ \sin(n), & se é ímpar. \end{cases}]
O conteúdo aqui é estudo de convergência de sequência real, usando definição de limite e análise de subsequências.

Passo 2

Analisamos a subsequência de índices pares. Para n=2k,
a2k = e^2k = l(e^2r)^k
Como e^2>1, temos crescimento exponencial e
limktoinftya2k = limktoinfty(e^2)^k = +infty
Logo, essa subsequência diverge para +infty.

Passo 3

Agora a subsequência de índices ímpares. Para n=2k+1,
a2k+1 = sin(2k+1)
Sabemos que sin(n) para ninN não se aproxima de valor único, pois oscila em [-1,1] e possui vários pontos de acumulação. Logo esta subsequência não converge (é oscilante).

Passo 4

Como uma subsequência diverge para +infty e outra não converge, a sequência original não pode ter limite finito nem infinito único. Portanto (an) não converge.

Resposta

A sequência (an) diverge (não converge).

Exercícios relacionados