{ }^{\star} Resolva as inequações:
\frac{3}{x-1}<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3}{x-1}<1.
O conteúdo aqui é inequação racional e vamos precisar estudar o sinal de uma fração.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da expressão: como há denominar x-1, devemos ter x\neq1.
Em seguida, colocamos tudo num único membro para comparar com zero:

Passo 3

Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos
\frac{3}{x-1}-1<0.

Passo 4

Vamos juntar em uma só fração:
\frac{3}{x-1}-1 =\frac{3-(x-1)}{x-1} =\frac{4-x}{x-1}.
Logo a inequação vira
\frac{4-x}{x-1}<0.

Passo 5

Para resolver \frac{4-x}{x-1}<0 fazemos o quadro de sinais. Os pontos críticos são
x=1\quad(\text{denominador zero, sem valor}) \quad\text{e}\quad x=4\quad(\text{numerador zero}).
Dividimos a reta em três intervalos e testamos o sinal da fração:
  • Em x<1: 4-x>0 e x-1<0 ⇒ quociente <0.
  • Em 1<x<4: 4-x>0 e x-1>0 ⇒ quociente >0.
  • Em x>4: 4-x<0 e x-1>0 ⇒ quociente <0.
Precisamos do quociente negativo, então valem os intervalos onde \frac{4-x}{x-1}<0.

Passo 6

Como em x=1 a expressão não está definida e em x=4 o quociente é zero (não satisfaz <0), a solução é
(-\infty,1)\;\cup\;(4,\infty).

Resposta

\displaystyle(-\infty,1)\cup(4,\infty)

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