Para cada função dos exercícios de 49) a 57), determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente, aqueles em que é decrescente e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para a função
os pontos de máximo e mínimo, os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas para analisar extremos, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para estudar extremos e monotonicidade:
Passo 3
Determinamos os pontos críticos resolvendo
:
Esse é o único ponto onde a derivada some.
Passo 4
Analisamos o sinal de
para saber onde
cresce ou decresce:
Para ,
então
é decrescente em
.
Para ,
então
é crescente em
.
Para
Para
Passo 5
Como
muda de negativa para positiva em
, esse ponto é um mínimo local. O valor da função nele é
Não há pontos de máximo local.
Passo 6
Calculamos a derivada segunda para estudar concavidade e pontos de inflexão:
Como
em todo
, a função é sempre côncava para cima e não possui ponto de inflexão.
Resposta
Ponto de mínimo:
.
Não há ponto de máximo.
Crescente em .
Decrescente em .
Não há ponto de inflexão.
Não há ponto de máximo.
Crescente em
Decrescente em
Não há ponto de inflexão.