• (2,0 pts) Questāo 4. Escreva a seguinte integral cartesiana
\int_{0}^{1} \int_{x}^{\sqrt{2-x^{2}}} \int_{0}^{x+2 y} 1 d z d y d x \quad \text { nsee }
em coordenadas cilíndricas e, em seguida, calcule essa integral.

Passo 1

O enunciado pede para escrever em coordenadas cilíndricas e calcular a integral
\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2 - x^{2}}}\int_{0}^{x + 2y}1\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas (aqui, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z) e cálculo de integrais triplas.

Passo 2

Identificamos a projeção D no plano xy:
0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq \sqrt{2 - x^{2}}. Em polares, as curvas são
y = x \iff \theta = \tfrac{\pi}{4},
x^{2} + y^{2} = 2 \iff r = \sqrt{2},
e x \geq 0,\; y \geq x dão \theta \in [\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}]. Além disso, para esse intervalo de \theta, r \cos \theta \leq \sqrt{2} \cos \theta \leq 1, logo r vai de 0 a \sqrt{2}.

Passo 3

Escrevemos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA= r\,dr\,d\theta,
e o z vai de 0 a x+2y = r\cos\theta +2r\sin\theta = r(\cos\theta+2\sin\theta). Assim
\int_{D}\int_{0}^{x+2y}1\,dz\,dA =\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{\sqrt2}\!\int_{z=0}^{r(\cos\theta+2\sin\theta)} 1\;\bigl(r\,dz\,dr\,d\theta\bigr).

Passo 4

Fazendo a integral em z:
\int_{0}^{r(\cos\theta+2\sin\theta)}1\,dz = r(\cos\theta+2\sin\theta).
O integrando torna-se
r\cdot r(\cos\theta+2\sin\theta) = r^2(\cos\theta+2\sin\theta).

Passo 5

Agora integramos em r:
\int_{0}^{\sqrt2}r^2\,dr =\Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{0}^{\sqrt2} =\frac{(\sqrt2)^3}{3} =\frac{2\sqrt2}{3}.
Sobra a integral em \theta:
\frac{2\sqrt2}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\cos\theta+2\sin\theta)\,d\theta.

Passo 6

Calculamos
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =1-\frac{\sqrt2}{2},
\int_{\pi/4}^{\pi/2}2\sin\theta\,d\theta =\bigl[-2\cos\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2} =0 + 2\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2.
Portanto o passo angular vale
1-\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt2 =1+\frac{\sqrt2}{2}.
Multiplicando:
\frac{2\sqrt2}{3}\Bigl(1+\frac{\sqrt2}{2}\Bigr) =\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{2\sqrt2\cdot\sqrt2}{6} =\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{2\cdot2}{6} =\frac{2\sqrt2}{3}+\frac{2}{3} =\frac{2(\sqrt2+1)}{3}.

Resposta

\frac{2(\sqrt2+1)}{3}.

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