- (2,0 pts) Questāo 4. Escreva a seguinte integral cartesiana
em coordenadas cilíndricas e, em seguida, calcule essa integral.
Passo 1
O enunciado pede para escrever em coordenadas cilíndricas e calcular a integral
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas (aqui,
,
,
) e cálculo de integrais triplas.
Passo 2
Identificamos a projeção
no plano
:
,
. Em polares, as curvas são
,
,
e dão
. Além disso, para esse intervalo de
,
, logo
vai de
a
.
e
Passo 3
Escrevemos
e o
vai de
a
. Assim
Passo 4
Fazendo a integral em
:
O integrando torna-se
Passo 5
Agora integramos em
:
Sobra a integral em
:
Passo 6
Calculamos
Portanto o passo angular vale
Multiplicando: