Para cada função dos exercícios de 49) a 57), determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente, aqueles em que é decrescente e seus pontos de inflexão.
r(x)=x^{2}(x-12)^{2}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
r(x)=x^{2}(x-12)^{2},
os pontos de máximo e mínimo, os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de inflexão. Para isso vamos calcular a primeira derivada r'(x) (para máximos, mínimos e monotonia) e a segunda derivada r''(x) (para pontos de inflexão).

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
r'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-24x^{3}+144x^{2}\bigr) =4x^{3}-72x^{2}+288x =4x\bigl(x^{2}-18x+72\bigr).
As raízes de r'(x)=0 são
4x=0\implies x=0, \qquad x^{2}-18x+72=0\implies x=\frac{18\pm\sqrt{324-288}}{2}=\{6,12\}.

Passo 3

Analisando o sinal de r'(x)=4x(x-6)(x-12):
  • Para x<0: 4x<0 e (x-6)(x-12)>0, logo r'(x)<0 (decrescente).
  • Para 0<x<6: 4x>0 e (x-6)(x-12)>0, logo r'(x)>0 (crescente).
  • Para 6<x<12: 4x>0 e (x-6)(x-12)<0, logo r'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>12: 4x>0 e (x-6)(x-12)>0, logo r'(x)>0 (crescente).
Assim,
  • decresce em (-\infty,0) e (6,12),
  • cresce em (0,6) e (12,\infty).

Passo 4

Calculemos a segunda derivada:
r''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-72x^{2}+288x\bigr) =12x^{2}-144x+288 =12\bigl(x^{2}-12x+24\bigr).
As inflexões vêm de x^{2}-12x+24=0, cujas raízes são
x=\frac{12\pm\sqrt{144-96}}{2}=6\pm2\sqrt{3}.
Os pontos de inflexão são, então,
\bigl(6-2\sqrt{3},\,r(6-2\sqrt{3})\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(6+2\sqrt{3},\,r(6+2\sqrt{3})\bigr).
Como
r\bigl(6\pm2\sqrt3\bigr)=(6\pm2\sqrt3)^{2}\bigl((6\pm2\sqrt3)-12\bigr)^{2}=576,
temos inflexões em \bigl(6\pm2\sqrt3,576\bigr).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos:
  • Em x=0: r' vai de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local em \bigl(0,r(0)\bigr)=(0,0).
  • Em x=6: r' vai de positivo para negativo \Rightarrow máximo local em \bigl(6,r(6)\bigr)=(6,1296).
  • Em x=12: r' vai de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local em \bigl(12,r(12)\bigr)=(12,0).

Resposta

Pontos de mínimo locais: (0,0) e (12,0)
Ponto de máximo local: (6,1296)
Intervalos de crescimento: (0,6) e (12,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-\infty,0) e (6,12)
Pontos de inflexão: \bigl(6-2\sqrt{3},576\bigr) e \bigl(6+2\sqrt{3},576\bigr)

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