Faça um esboço do gráfico das seguintes funções:
u(x)=\frac{4}{\sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
u(x)=\frac{4}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,.
O conteúdo envolvido é esboço de gráfico de função definida por raiz no denominador, incluindo domínio, simetria, assíntotas e comportamento de monotonicidade.

Passo 2

Determinar o domínio de u. Para a raiz estar definida e não nula, precisamos de
4 - x^{2} > 0
ou seja
-2 < x < 2.
Logo, o domínio é (-2,2).

Passo 3

Verificar simetria. Calculamos
u(-x)=\frac{4}{\sqrt{4 - (-x)^{2}}} =\frac{4}{\sqrt{4 - x^{2}}} = u(x).
Portanto u é função par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Analisar assíntotas verticais nos extremos do domínio. Quando x\to2^{-} ou x\to(-2)^{+}, a expressão 4 - x^{2}\to0^{+} faz
u(x)=\frac{4}{\sqrt{4 - x^{2}}}\to +\infty.
Logo há assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

Passo 5

Estudar monotonicidade e valor mínimo. No ponto x=0 temos
u(0)=\frac{4}{\sqrt{4}}=2.
A derivada é
u'(x) =4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{-\tfrac12} =4\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(4 - x^{2})^{-\tfrac32}(-2x) =\frac{4x}{(4 - x^{2})^{3/2}}.
Para x<0, u'(x)<0 (decrescente ao avançar de -2 a 0); para x>0, u'(x)>0 (crescente de 0 a 2). O ponto x=0 é mínimo global, com valor 2.

Passo 6

Com todas essas informações, o esboço é: curva que, partindo de +\infty em x=-2, decresce até o valor mínimo u(0)=2, e cresce de volta a +\infty em x=2, sendo simétrica ao redor do eixo y e tendo assíntotas verticais em x=\pm2.

Resposta

O gráfico de u(x)=\tfrac{4}{\sqrt{4 - x^{2}}} no intervalo -2<x<2 é uma curva em forma de “U” infinito, com mínimo u(0)=2, simétrica em relação ao eixo y e assíntotas verticais em x=-2 e x=2.

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