Para cada função dos exercícios de 49) a 57), determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente, aqueles em que é decrescente e seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de inflexão. O conteúdo usado será derivadas (primeira e segunda) para achar extremos e concavidade.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e calculamos a primeira derivada. O domínio é
A derivada de
é
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Não há outros pontos críticos (em
a função não existe).
Passo 4
Analisamos o sinal de
nos intervalos do domínio:
– Para
, escrevendo
, vemos que
se
e
se
.
Logo em
e
em
.
Logo
– Para
,
implica
e
, então
em
.
Assim
é decrescente em
e em
, e crescente em
. Em
a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local.
Passo 5
Agora calculamos a segunda derivada para ver concavidade e inflexão:
O ponto de inflexão vem de
:
Passo 6
Determinamos os sinais de
:
– Em
,
faz
, então
(côncavo para cima).
– Em
,
mas ainda negativo, dá
, logo
(côncavo para baixo).
– Em
,
faz
, então
(côncavo para cima).
Portanto há ponto de inflexão em
.
Resposta
Mínimos locais:
.
Máximos locais: nenhum.
Crescente em .
Decrescente em e em
.
Ponto de inflexão: .
Concavidade para cima em e para baixo em
.
Máximos locais: nenhum.
Crescente em
Decrescente em
Ponto de inflexão:
Concavidade para cima em