Para cada função dos exercícios de 49) a 57), determine os pontos de máximo e de mínimo, os intervalos em que ela é crescente, aqueles em que é decrescente e seus pontos de inflexão.
n(x)=x^{2}+\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
n(x)=x^{2}+\frac{2}{x},
que a gente determine os pontos de máximo e mínimo, os intervalos de crescimento e de decrescimento e os pontos de inflexão. O conteúdo usado será derivadas (primeira e segunda) para achar extremos e concavidade.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e calculamos a primeira derivada. O domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}.
A derivada de n é
n'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{2}+\tfrac{2}{x}\Bigr) =2x-2x^{-2} =2x-\frac{2}{x^{2}}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos n'(x)=0:
2x-\frac{2}{x^{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{3}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Não há outros pontos críticos (em x=0 a função não existe).

Passo 4

Analisamos o sinal de n'(x) nos intervalos do domínio:
– Para x>0, escrevendo n'(x)=\tfrac{2(x^{3}-1)}{x^{2}}, vemos que
\,x^{3}-1<0 se 0<x<1 e \,x^{3}-1>0 se x>1.
Logo n'\!<0 em (0,1) e n'\!>0 em (1,\infty).
– Para x<0, x^{3}<0 implica x^{3}-1<0 e x^{2}>0, então n'(x)<0 em (-\infty,0).
Assim n é decrescente em (-\infty,0) e em (0,1), e crescente em (1,\infty). Em x=1 a derivada muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local.

Passo 5

Agora calculamos a segunda derivada para ver concavidade e inflexão:
n''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(2x-2x^{-2}\Bigr) =2+4x^{-3} =2+\frac{4}{x^{3}}.
O ponto de inflexão vem de n''(x)=0:
2+\frac{4}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{x^{3}}=-2 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=-2 \quad\Longrightarrow\quad x=-\sqrt[3]{2}.

Passo 6

Determinamos os sinais de n''(x):
– Em (-\infty,-\sqrt[3]{2}), x^{3}< -2 faz \tfrac{4}{x^{3}}>-2, então n''>0 (côncavo para cima).
– Em (-\sqrt[3]{2},0), x^{3}>-2 mas ainda negativo, dá \tfrac{4}{x^{3}}<-2, logo n''<0 (côncavo para baixo).
– Em (0,\infty), x^{3}>0 faz \tfrac{4}{x^{3}}>0, então n''>0 (côncavo para cima).
Portanto há ponto de inflexão em x=-\sqrt[3]{2}.

Resposta

Mínimos locais: (1,n(1))=(1,3).
Máximos locais: nenhum.
Crescente em (1,\infty).
Decrescente em (-\infty,0) e em (0,1).
Ponto de inflexão: \bigl(-\sqrt[3]{2},\,0\bigr).
Concavidade para cima em (-\infty,-\sqrt[3]{2})\cup(0,\infty) e para baixo em (-\sqrt[3]{2},0).

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