Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável, com \lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=\sigma>0. Mostre que \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty.

Passo 1

Resumindo, temos f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável e
\lim_{x\to\infty}f'(x)=\sigma>0.
O que precisamos mostrar é que
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
A ideia é usar que, para x grande, f'(x) fica uniformemente positiva, e daí integrar essa desigualdade em um intervalo [M,x].

Passo 2

Pela definição de limite, como \lim_{x\to\infty}f'(x)=\sigma, existe M tal que, para todo t\ge M, vale
f'(t)>\frac{\sigma}{2}.

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo [M,x] com x>M, temos
f(x)-f(M) =\int_{M}^{x}f'(t)\,dt >\int_{M}^{x}\frac{\sigma}{2}\,dt =\frac{\sigma}{2}(x-M).

Passo 4

Da desigualdade
f(x)>f(M)+\frac{\sigma}{2}(x-M)
vemos que, à medida que x\to\infty, o termo \tfrac{\sigma}{2}(x-M)\to\infty. Logo
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.

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