Se f(x) é um polinômio de segundo grau, prove que em qualquer intervalo (a, b) existe um único ponto \xi tal que
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) .

Passo 1

O enunciado afirma que f(x) é um polinômio de segundo grau em \mathbb{R} e pede para mostrar que, dado qualquer intervalo (a,b), existe um único \xi\in(a,b) tal que
f(b)-f(a)=f'(\xi)\,(b-a).
O conteúdo envolvido é o Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio), mas como f é quadrática podemos provar diretamente por cálculo.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=Ax^2+Bx+C,
com A\neq0. Então
f(b)-f(a) = A\bigl(b^2-a^2\bigr)+B(b-a) = A(b-a)(b+a)+B(b-a).
Fatorando (b-a), temos
f(b)-f(a)=(b-a)\bigl[A(b+a)+B\bigr].

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=2Ax+B.
Logo, se avaliarmos em x=\tfrac{a+b}{2}, obtemos
f'\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr) =2A\cdot\tfrac{a+b}{2}+B =A(b+a)+B.
Portanto
f(b)-f(a) =(b-a)\,f'\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr),
o que mostra que existe \xi=\tfrac{a+b}{2} satisfazendo a igualdade desejada.

Passo 4

Para provar unicidade, note que f'(x)=2Ax+B é uma função afim com coeficiente angular 2A\neq0. Assim f' é estritamente monotônica e, consequentemente, a equação
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
tem solução única em \mathbb{R}. Como encontramos \xi=\tfrac{a+b}{2}, ele é o único ponto que satisfaz a relação.

Resposta

O único ponto \xi\in(a,b) que satisfaz
f(b)-f(a)=f'(\xi)\,(b-a)
é
\xi=\frac{a+b}{2}.

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