Se
é um polinômio de segundo grau, prove que em qualquer intervalo
existe um único ponto
tal que
Passo 1
O enunciado afirma que
é um polinômio de segundo grau em
e pede para mostrar que, dado qualquer intervalo
, existe um único
tal que
O conteúdo envolvido é o Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio), mas como
é quadrática podemos provar diretamente por cálculo.
Passo 2
Escrevemos
com
. Então
Fatorando
, temos
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Logo, se avaliarmos em
, obtemos
Portanto
o que mostra que existe
satisfazendo a igualdade desejada.
Passo 4
Para provar unicidade, note que
é uma função afim com coeficiente angular
. Assim
é estritamente monotônica e, consequentemente, a equação
tem solução única em
. Como encontramos
, ele é o único ponto que satisfaz a relação.
Resposta
O único ponto
que satisfaz
é