Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, \quad c=0,1,4,9.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=x^2+y^2
e pede os conjuntos de nível
L\text{(c)}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y)=c\}
para c=0,1,4,9. Vamos usar que x^2+y^2 é o quadrado da distância ao ponto (0,0).

Passo 2

Para c<0 a equação
x^2+y^2=c
não tem solução real. Para c\ge0 definimos r = \sqrt{c} e reescrevemos
x^2+y^2 = c \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2 = r^2,
que é a equação de um círculo de raio r centrado na origem. Quando r=0, o “círculo” degenera num único ponto.

Passo 3

Calculando r=\sqrt{c} para cada valor solicitado:
  • Para c=0, r=0.
  • Para c=1, r=1.
  • Para c=4, r=2.
  • Para c=9, r=3.

Resposta

Para cada c, o conjunto de nível é
L\text{(c)}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=c\}.
Em particular: L(0)=\{(0,0)\} L(1)=\{(x,y):x^2+y^2=1\} L(4)=\{(x,y):x^2+y^2=4\} L(9)=\{(x,y):x^2+y^2=9\}

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