Sendo c: I \rightarrow \mathbb{R}^{n} derivável, mostre que (\|c(t)\|)^{\prime}=\frac{c^{\prime}(t) \cdot c(t)}{\|c(t)\|}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva diferenciável c: I \to \mathbb{R}^n e quer a derivada da função t \mapsto \lVert c(t)\rVert. Para isso vamos usar a definição de norma como raiz quadrada do produto interno e aplicar a regra da cadeia junto com a derivada do produto interno.

Passo 2

Observe que
\lVert c(t)\rVert = \sqrt{c(t)\cdot c(t)}.
Defina a função auxiliar h(t) = c(t)\cdot c(t). Então \lVert c(t)\rVert = \sqrt{h(t)}.

Passo 3

Calculemos h'(t). Como o produto interno é bilinear e simétrico,
h'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(c(t)\cdot c(t)\bigr) = c'(t)\cdot c(t) + c(t)\cdot c'(t) = 2\,c'(t)\cdot c(t).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia à função g(u)=\sqrt{u}:
(\lVert c(t)\rVert)' = \frac{d}{dt}\sqrt{h(t)} = \frac{h'(t)}{2\sqrt{h(t)}} = \frac{2\,c'(t)\cdot c(t)}{2\,\lVert c(t)\rVert} = \frac{c'(t)\cdot c(t)}{\lVert c(t)\rVert}.

Resposta

(\lVert c(t)\rVert)' = \frac{c'(t)\cdot c(t)}{\lVert c(t)\rVert}.

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