Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f(x, y)=\operatorname{sen}(x+y), \quad c=-1,0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x,y)=\sin(x+y)
e pede para descrever, para cada valor
c\in\bigl\{-1,0,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2,1\bigr\},
o conjunto de nível
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)=c\}.
Este é um problema de conjuntos de nível de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para resolver usamos a condição
\sin(x+y)=c.
Como em uma variável sabemos que
\sin u = c\quad\Longleftrightarrow\quad u = \arcsin\text{(c)} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad u = \pi - \arcsin\text{(c)} + 2\pi k, \;k\in\mathbb{Z},
basta tomar u = x+y. Logo cada conjunto de nível é a união das retas paralelas
x+y = \arcsin\text{(c)} + 2\pi k \quad\text{e}\quad x+y = \pi - \arcsin\text{(c)} + 2\pi k, \;k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Agora avaliamos caso a caso:
Para c=-1 temos \arcsin(-1)=-\tfrac{\pi}2 e \pi-\arcsin(-1)=\tfrac{3\pi}2. Mas \tfrac{3\pi}2 = -\tfrac{\pi}2 + 2\pi,
então as duas famílias coincidem e a única família de retas é
x+y = -\tfrac{\pi}2 + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}.
O mesmo acontece para c=1, pois \arcsin(1)=\tfrac{\pi}2 e \pi-\tfrac{\pi}2=\tfrac{\pi}2.

Passo 4

Para c=0 temos \arcsin(0)=0 e \pi-0=\pi. As retas são
x+y = 0 + 2\pi k \quad\text{e}\quad x+y = \pi + 2\pi k,
ou seja
x+y = k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Para c=\tfrac12 temos \arcsin(\tfrac12)=\tfrac{\pi}6 e \pi-\tfrac{\pi}6=\tfrac{5\pi}6.
Para c=\tfrac{\sqrt2}2 temos \arcsin(\tfrac{\sqrt2}2)=\tfrac{\pi}4 e \pi-\tfrac{\pi}4=\tfrac{3\pi}4.
Em cada caso surgem duas famílias de retas paralelas de soma constante x+y.

Resposta

Para cada c o conjunto de nível \{(x,y)\mid \sin(x+y)=c\} é dado por:
  • c=-1:
    \{(x,y)\mid x+y = -\tfrac{\pi}2 + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.
  • c=1:
    \{(x,y)\mid x+y = \tfrac{\pi}2 + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.
  • c=0:
    \{(x,y)\mid x+y = k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}.
  • c=\tfrac12:
    \{(x,y)\mid x+y = \tfrac{\pi}6 + 2\pi k\;\text{ou}\;x+y = \tfrac{5\pi}6 + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.
  • c=\tfrac{\sqrt2}2:
    \{(x,y)\mid x+y = \tfrac{\pi}4 + 2\pi k\;\text{ou}\;x+y = \tfrac{3\pi}4 + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\}.

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