Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f(x, y)=e^{x y}, \quad c=e^{-2}, e^{-1}, 1, e, e^{2}, e^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar, para cada valor
c\in\bigl\{e^{-2},\,e^{-1},\,1,\,e,\,e^{2},\,e^{3}\bigr\},
o conjunto de nível
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid f(x,y)=c\},
sendo f(x,y)=e^{xy}. O conteúdo envolve resolver a equação exponencial e interpretar geometricamente as curvas resultantes em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Observamos que e^{xy}>0 para todo (x,y), logo não há nível para c\le0. Para c>0, aplicamos logaritmo natural em
e^{xy}=c
obtendo
xy=\ln\text{(c)}.
Denotando k=\ln\text{(c)}, o conjunto de nível é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=k\},
que é uma hipérbole retangular (ou, se k=0, a união dos eixos coordenados).

Passo 3

Características das curvas xy=k:
  • Se k>0, a hipérbole tem ramos nos 1.º e 3.º quadrantes.
  • Se k<0, a hipérbole tem ramos nos 2.º e 4.º quadrantes.
  • Se k=0, a equação xy=0 descreve a união das retas x=0 e y=0.

Passo 4

Calculamos k=\ln\text{(c)} para cada c dado:
  • Para c=e^{-2}, temos k=-2, conjunto xy=-2 (hipérbole nos 2.º e 4.º quadrantes).
  • Para c=e^{-1}, temos k=-1, conjunto xy=-1 (hipérbole nos 2.º e 4.º quadrantes).
  • Para c=1, temos k=0, conjunto xy=0 (união de x=0 e y=0).
  • Para c=e, temos k=1, conjunto xy=1 (hipérbole nos 1.º e 3.º quadrantes).
  • Para c=e^{2}, temos k=2, conjunto xy=2 (hipérbole nos 1.º e 3.º quadrantes).
  • Para c=e^{3}, temos k=3, conjunto xy=3 (hipérbole nos 1.º e 3.º quadrantes).

Resposta

Para cada c, o conjunto de nível \{(x,y)\mid e^{xy}=c\} é:
\begin{aligned} &c=e^{-2}:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=-2\},\\\ &c=e^{-1}:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=-1\},\\\ &c=1:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=0\},\\\ &c=e:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=1\},\\\ &c=e^{2}:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=2\},\\\ &c=e^{3}:\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid xy=3\}. \end{aligned}

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