Sendo
deriváveis, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas vetoriais deriváveis
, vale a relação de derivada do produto vetorial
O conteúdo envolve a definição de produto vetorial e a regra do produto (para funções reais) aplicada componente a componente.
Passo 2
Escrevemos
com todas as funções escalares
deriváveis em
.
Passo 3
Pela definição de produto vetorial,
Para a primeira componente
, aplicamos a regra do produto:
Note que
é a primeira componente de
e
é a primeira componente de
.
Passo 4
Exatamente o mesmo argumento vale para a segunda e terceira componentes, pois em cada uma delas temos uma diferença de dois produtos escalares. A derivada de cada produto gera dois termos, que se agrupam naturalmente nas componentes correspondentes de
e de
.
Passo 5
Reagrupando todos os componentes, obtemos vetor a vetor