Sendo c_{1}, c_{2}: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} deriváveis, mostre que \left(c_{1}(t) \times c_{2}(t)\right)^{\prime}=c_{1}^{\prime}(t) \times c_{2}(t)+c_{1}(t) \times c_{2}^{\prime}(t)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas curvas vetoriais deriváveis \,c_{1},c_{2}:I\to\mathbb{R}^3, vale a relação de derivada do produto vetorial
\bigl(c_{1}(t)\times c_{2}(t)\bigr)^{\prime} = c_{1}^{\prime}(t)\times c_{2}(t) + c_{1}(t)\times c_{2}^{\prime}(t).
O conteúdo envolve a definição de produto vetorial e a regra do produto (para funções reais) aplicada componente a componente.

Passo 2

Escrevemos
c_{1}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr), \quad c_{2}(t) = \bigl(u(t),\,v(t),\,w(t)\bigr),
com todas as funções escalares x,y,z,u,v,w deriváveis em t.

Passo 3

Pela definição de produto vetorial,
c_{1}(t)\times c_{2}(t) = \bigl(\,y\,w - z\,v,\;z\,u - x\,w,\;x\,v - y\,u\bigr).
Para a primeira componente F(t)=y(t)w(t)-z(t)v(t), aplicamos a regra do produto:
F'(t) = y'(t)\,w(t) + y(t)\,w'(t) - \bigl(z'(t)\,v(t) + z(t)\,v'(t)\bigr) = \bigl(y'w - z'v\bigr) + \bigl(yw' - zv'\bigr).
Note que \,y'w - z'v é a primeira componente de c_{1}'\times c_{2} e yw' - zv' é a primeira componente de c_{1}\times c_{2}'.

Passo 4

Exatamente o mesmo argumento vale para a segunda e terceira componentes, pois em cada uma delas temos uma diferença de dois produtos escalares. A derivada de cada produto gera dois termos, que se agrupam naturalmente nas componentes correspondentes de c_{1}'\times c_{2} e de c_{1}\times c_{2}'.

Passo 5

Reagrupando todos os componentes, obtemos vetor a vetor
\bigl(c_{1}(t)\times c_{2}(t)\bigr)^{\prime} = c_{1}^{\prime}(t)\times c_{2}(t) + c_{1}(t)\times c_{2}^{\prime}(t).

Resposta

\bigl(c_{1}(t)\times c_{2}(t)\bigr)^{\prime} = c_{1}^{\prime}(t)\times c_{2}(t) + c_{1}(t)\times c_{2}^{\prime}(t).

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