Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f(x, y, z)=x+y+z, \quad c=-1,0,1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em \mathbb{R}^3, os conjuntos de nível
L_c = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid f(x,y,z)=c\}
para a função f(x,y,z)=x+y+z e para c=-1,0,1. O conteúdo aqui é geometria de conjuntos de nível: cada conjunto de nível de uma função linear é um plano.

Passo 2

De modo geral, resolver f(x,y,z)=c significa resolver
x + y + z = c.
Esse é um plano em \mathbb{R}^3 cuja normal é o vetor (1,1,1). Variações em c apenas transladam o plano ao longo da direção de (1,1,1).

Passo 3

Para c=-1, o conjunto de nível é o plano
x + y + z = -1,
isto é, todos os pontos em \mathbb{R}^3 cuja soma das coordenadas vale -1.

Passo 4

Para c=0, o conjunto de nível é o plano
x + y + z = 0,
que passa pela origem e é perpendicular a (1,1,1).

Passo 5

Para c=1, o conjunto de nível é o plano
x + y + z = 1,
este plano é paralelo ao anterior c=0 e está deslocado uma unidade na direção de (1,1,1).

Resposta

L_{-1} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=-1\} L_{0} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\} L_{1} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=1\}

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