Para cada função a seguir, determine e, se possível, a função ? R , tal que g é contínua e , para todo :
Passo 1
O enunciado apresenta uma função definida por partes em dois ramos separados em x = –2. O conteúdo envolvido é extensão contínua de funções definidas por partes: vamos achar o domínio de f e verificar se existe uma g contínua em R que coincida com f em seu domínio.
Passo 2
Como f(x) está dada apenas para x>–2 e x<–2, não há definição em x=–2. Logo
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty).
Passo 3
Para estender f de forma contínua em x=–2, calculamos os limites laterais em x→–2:
Passo 4
Para haver continuidade em x=–2, exigimos
que implica
Passo 5
Se , definimos g igual a f fora de x=–2 e atribuimos a g(–2) o valor comum dos limites para tornar g contínua.
Caso contrário, se , os limites laterais não coincidem e não existe extensão contínua de f em x=–2.
Resposta
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty). A extensão contínua g existe somente para , e neste caso podemos tomar
Se betaneq-tfrac32, não há g contínua que estenda f.