Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R ? R , tal que g é contínua e g(x)=f(x), para todo x in D(f) :
beta x+1, & x>-2 -2 x, & x<-2

Passo 1

O enunciado apresenta uma função definida por partes em dois ramos separados em x = –2. O conteúdo envolvido é extensão contínua de funções definidas por partes: vamos achar o domínio de f e verificar se existe uma g contínua em R que coincida com f em seu domínio.

Passo 2

Como f(x) está dada apenas para x>–2 e x<–2, não há definição em x=–2. Logo
D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty).

Passo 3

Para estender f de forma contínua em x=–2, calculamos os limites laterais em x→–2:
limxto-2^+f(x)=limxto-2^+(beta x+1)=-2beta+1,
limxto-2^-f(x)=limxto-2^-(-2x)=4

Passo 4

Para haver continuidade em x=–2, exigimos
-2beta+1=4
que implica
beta=-tfrac32

Passo 5

Se beta=-tfrac32, definimos g igual a f fora de x=–2 e atribuimos a g(–2) o valor comum dos limites para tornar g contínua.
Caso contrário, se betaneq-tfrac32, os limites laterais não coincidem e não existe extensão contínua de f em x=–2.

Resposta

D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,\infty). A extensão contínua g existe somente para beta=-tfrac32, e neste caso podemos tomar
g(x)= -tfrac32,x+1,&x>-2, 4,&x=-2, -2x,&x<-2
Se betaneq-tfrac32, não há g contínua que estenda f.

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