Calcule a distância do ponto (4,-2) à reta que passa pelos pontos (-2,3) e (2,1).

Passo 1

O exercício pede a distância do ponto (4, −2) até a reta que passa por (−2, 3) e (2, 1). O conteúdo envolvido é geometria analítica plana, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a uma reta em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para achar a equação da reta, calculamos o coeficiente angular (inclinação) usando os dois pontos:
O coeficiente angular é
m = 1 - 32 - (-2) = -24 = -tfrac12
Usamos a forma ponto-reta com o ponto (−2, 3):
y - 3 = -tfrac12(x + 2)
Multiplicando ambos os lados por 2 e rearranjando, obtemos a forma geral
x + 2y - 4 = 0

Passo 3

A teoria diz que, dada a reta ax + by + c = 0 e o ponto (x0,y0), a distância é
d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2
Aqui identificamos a = 1, b = 2, c = -4 e (x0,y0) = (4, -2).

Passo 4

Substituindo na fórmula temos:
d = |1cdot 4 + 2cdot(-2) - 4|raiz1^2 + 2^2 = |4 - 4 - 4|raiz5 = 4raiz5
Racionalizando o denominador (opcional), fica
d = 4raiz55

Resposta

tfrac4raiz55

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