Determine m in R tal que as retas (m+1) x-3 y+3=0 e (m-1) x+y+1=0 sejam perpendiculares. Desenhe os gráficos destas retas.

Passo 1

O enunciado pede o valor de minR para que as retas
(m+1)x - 3y + 3 = 0 e (m-1)x + y + 1 = 0 sejam perpendiculares. Vamos usar geometria analítica de retas, em particular coeficientes angulares e a condição de perpendicularidade (produto dos coeficientes angulares vale -1).

Passo 2

Primeiro, vamos pôr cada reta na forma explicita y = ax + b para identificar o coeficiente angular:
(m+1)x - 3y + 3 = 0
-3y = -(m+1)x - 3
y = m+13,x + 1
Daí o coeficiente angular da primeira reta é a1 = m+13.
Para a segunda reta:
(m-1)x + y + 1 = 0
y = -(m-1)x - 1
O coeficiente angular da segunda reta é a2 = -(m-1).

Passo 3

A condição de perpendicularidade entre duas retas de coeficientes angulares a1 e a2 é:
a1 cdot a2 = -1
Substituindo nossos valores:
m+13 cdot l(-(m-1)r) = -1
-(m+1)(m-1)3 = -1
Multiplicando ambos os lados por 3 e simplificando:
-(m^2 -1) = -3
m^2 - 1 = 3
m^2 = 4
m = pm 2

Passo 4

Logo, as soluções são m = 2 ou m = -2.
Agora vamos obter as equações explícitas e descrever como esboçar os gráficos para cada caso:

Passo 5

Para m = 2:
(m+1)x - 3y + 3 = 0 implies 3x - 3y + 3 = 0 implies y = x + 1
(m-1)x + y + 1 = 0 implies x + y + 1 = 0 implies y = -x - 1
Essas retas se interceptam em (-1,0) e são perpendiculares (coeficientes 1 e -1).
Para desenhar, plote y=x+1 (passa por (0,1) e (-1,0)) e y=-x-1 (passa por (0,-1) e (-1,0)).

Passo 6

Para m = -2:
(m+1)x - 3y + 3 = 0 implies -x - 3y + 3 = 0 implies y = -x3 + 1
(m-1)x + y + 1 = 0 implies -3x + y + 1 = 0 implies y = 3x - 1
Aqui os coeficientes angulares são -1/3 e 3, produto -1. Elas se interceptam em (3/5,4/5).
Para desenhar, plote y=-x/3+1 (passa por (0,1) e (3,0)) e y=3x-1 (passa por (0,-1) e (1/3,0)).

Resposta

m = 2 ou m = -2

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