Mostre que a reta que passa pelo ponto a x+ e que é perpendicular à reta b y+c=0 é .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta que passa por (x0,y0) e é perpendicular à reta ax+by+c=0 tem equação b(x-x0)-a(y-y0)=0. O conteúdo é geometria analítica: vamos usar vetores normais e de direção e a relação de perpendicularidade entre vetores.

Passo 2

A reta ax+by+c=0 tem vetor normal n=(a,b), pois a condição ax+by+c=0 equivale a ncdot(x,y)+c=0. Um vetor direção d dessa reta satisfaz ncdotd=0, por exemplo d=(-b,a).

Passo 3

Como queremos uma reta perpendicular, seu vetor direção deve ser paralelo a n=(a,b). Chamando esse vetor de v=(a,b), a equação paramétrica da reta é
(x,y)=(x0,y0)+t,(a,b)

Passo 4

Para passar ao formato implícito, escolhemos um vetor normal à reta buscada que seja perpendicular a v. Um bom candidato é m=(b,-a), pois
mcdotv=bcdot a+(-a)cdot b=0
Assim, a equação da reta é
mcdotl((x,y)-(x0,y0)r)=0,
o que, ao fazer o produto escalar, dá
b(x-x0)-a(y-y0)=0

Resposta

b(x-x0)-a(y-y0)=0

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