Seja
e seja
um compacto no qual o Teorema da Divergรชncia de Gauss se aplica. Prove que
onde
รฉ a fronteira de
e
รฉ a normal unitรกria que aponta para fora de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um corpo compacto B com fronteira σ, vale a fórmula que relaciona o volume de B a um integral de superfície de r=(x,y,z). O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (de Gauss) e vamos precisar escolher um campo vetorial apropriado, calcular sua divergência e depois aplicar o teorema.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial C^1 F definido em B∪σ, temos
Passo 3
Tomemos o campo vetorial
. Precisamos calcular sua divergência:
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência ao campo
, obtemos:
Passo 5
Isolando
, concluímos que