Seja r=(x, y, z) e seja B um compacto no qual o Teorema da Divergรชncia de Gauss se aplica. Prove que
Vol B=13 integral duplasigmalang<= r, nrang<= d S
onde รฉ a fronteira de e รฉ a normal unitรกria que aponta para fora de .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um corpo compacto B com fronteira σ, vale a fórmula que relaciona o volume de B a um integral de superfície de r=(x,y,z). O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (de Gauss) e vamos precisar escolher um campo vetorial apropriado, calcular sua divergência e depois aplicar o teorema.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que, para um campo vetorial C^1 F definido em B∪σ, temos
integral duplaσFcdot n,dS=integral triplaBdivF,dV

Passo 3

Tomemos o campo vetorial F(r)=r=(x,y,z). Precisamos calcular sua divergência:
divF=partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z=1+1+1=3

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência ao campo F=r, obtemos:
integral duplaσlang<= r,nrang<=,dS=integral duplaσFcdot n,dS=integral triplaBdivF,dV=integral triplaB3,dV=3,VolB

Passo 5

Isolando VolB, concluímos que
VolB=13integral duplaσlang<= r,nrang<=,dS

Resposta

VolB=13integral duplaσlang<= r,nrang<=,dS

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