Para cada função f(x) dada abaixo:
  • Determine o domínio de f(x);
  • Utilize a definição de derivada para obter a função f^{\prime}(x);
    (a) f(x)=\sqrt{3 x-4}

Passo 1

A gente tem a função f(x)=\sqrt{3x-4}. Precisamos determinar seu domínio e usar a definição de derivada para encontrar f'(x).

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o radicando seja não-negativo:
3x-4 \ge 0
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x \ge \tfrac{4}{3}.
Então
\text{Dom }f = \bigl[\tfrac{4}{3},\,\infty\bigr).

Passo 3

Escrevemos a derivada pela definição:
f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{3(x+h)-4}-\sqrt{3x-4}}{h}.

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{3(x+h)-4}-\sqrt{3x-4}}{h} = \frac{\bigl(\sqrt{3(x+h)-4}-\sqrt{3x-4}\bigr)\, \bigl(\sqrt{3(x+h)-4}+\sqrt{3x-4}\bigr)} {h\bigl(\sqrt{3(x+h)-4}+\sqrt{3x-4}\bigr)} = \frac{3h}{h\bigl(\sqrt{3(x+h)-4}+\sqrt{3x-4}\bigr)} = \frac{3}{\sqrt{3(x+h)-4}+\sqrt{3x-4}}.

Passo 5

Tomando o limite h\to0, as raízes no denominador coincidem com \sqrt{3x-4}, de modo que
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{3}{\sqrt{3(x+h)-4}+\sqrt{3x-4}} = \frac{3}{2\sqrt{3x-4}},
válido para x> \tfrac{4}{3}.

Resposta

Domínio: \bigl[\tfrac{4}{3},\infty\bigr)
Derivada: \displaystyle f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-4}} for x> \tfrac{4}{3}.

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