Resolva os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow \infty} \ln (x)-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(\ln(x)-x\bigr).
O conteúdo aqui é análise de limites no infinito, comparando o crescimento de funções: a função logarítmica \ln(x) e a função linear x.

Passo 2

Uma ideia é escrever
\ln(x)-x = x\!\biggl(\frac{\ln(x)}{x}-1\biggr).
Sabemos que, quando x\to\infty, a razão
\frac{\ln(x)}{x}\to 0
porque o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear. Logo o fator interno tende a -1.

Passo 3

Como x\to\infty e \frac{\ln(x)}{x}-1\to -1, o produto
x\!\bigl(\tfrac{\ln(x)}{x}-1\bigr)\to \infty\cdot(-1) = -\infty.
Portanto o limite diverge para menos infinito.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\bigl(\ln(x)-x\bigr) = -\infty.

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