Resolva os seguintes limites:
(h) \lim _{x \rightarrow \infty}(a x)^{\frac{b}{c x}}, a, b \neq 0.)’

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}(a x)^{\frac{b}{c x}},
com a\neq0, b\neq0 e c\neq0. O conteúdo aqui é cálculo de limite de uma potência cujo expoente tende a zero, gerando a indeterminação “ algo^0”. Para resolver, vamos usar a transformação pelo logaritmo e depois retornar pela exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to\infty}(a x)^{\frac{b}{c x}}
e estudamos
\ln L = \lim_{x\to\infty}\ln\bigl((a x)^{\frac{b}{c x}}\bigr).
Pelas propriedades do logaritmo,
\ln\bigl((a x)^{\frac{b}{c x}}\bigr) =\frac{b}{c x}\,\ln(a x).

Passo 3

Usamos \ln(a x)=\ln a+\ln x, assim
\frac{b}{c x}\,\ln(a x) =\frac{b}{c x}(\ln a+\ln x) =\frac{b\ln a}{c x}+\frac{b}{c}\,\frac{\ln x}{x}.
Sabemos que, quando x\to\infty, temos \frac{1}{x}\to0 e \frac{\ln x}{x}\to0. Logo
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{b\ln a}{c x}+\frac{b}{c}\,\frac{\ln x}{x}\Bigr)=0.
Isso mostra que \ln L = 0.

Passo 4

Como \ln L=0, concluímos
L = e^0 = 1.

Resposta

1

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