Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar a inversa
. - Verificar i) domínio e imagem de
e de ; ii) se é função de primeiro grau; iii) o ponto de interseção entre os gráficos de e .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica de
é . - Não há figura nem restrição adicional no enunciado.
Passo 2
O que é e como achar a inversa em prática (regra passo a passo):
- Definição: uma função
é inversa de se, para todo do domínio apropriado, e . Em termos práticos, para achar toma-se , troca-se por e por (ou seja, inverte-se os papéis de entrada e saída) e resolve-se a equação resultante para a nova variável . O resultado expressa em função de e é . - Observação importante sobre domínio e imagem: o domínio de
é a imagem de e a imagem de é o domínio de .
Passo 3
Aplicando a técnica para achar
:
- Escreve-se
:
- Troca-se
e :
- Resolve-se essa equação para
. Multiplica ambos os lados por :
- Isola-se
:
Portanto a inversa é
Passo 4
Determinar domínio e imagem de
:
- Regra prática: para funções racionais lineares como
não há divisão por variável (o denominador é constante ), logo não existe restrição para . Assim o domínio de é o conjunto de todos os reais:
- A imagem (conjunto de valores possíveis de saída) de uma função afim
com é também todo , porque uma reta com coeficiente angular não nulo atinge todos os valores reais quando varia em . Aqui o coeficiente angular é , então
Passo 5
Domínio e imagem de
:
Pela propriedade geral de inversas, a imagem de
é o domínio de
e o domínio de
é a imagem de
. Como já encontramos
e
, segue que
Também pode-se ver diretamente na expressão
que não há restrição em
(denominador constante
) e a reta atinge todos os reais.
Passo 6
Verificar se
é função de primeiro grau:
- Uma função de primeiro grau (função afim) tem forma geral
com . - Escrevendo
em forma afim:
tem coeficiente angular
e termo constante
. Logo
é sim uma função de primeiro grau.
Passo 7
Ponto(s) de interseção entre os gráficos de
e
:
-
Observação útil: os pontos de interseção entre o gráfico de uma função e o gráfico de sua inversa são exatamente os pontos que satisfazem
. Esses pontos também são pontos fixos em que (pois se e é inversa, a igualdade reduz-se a solução que coincide com fixo — pode-se ver também pelo fato geométrico: interseção entre curva e sua reflexão sobre a reta ocorre sobre a reta ). -
Resolve-se
:
Multiplicando ambos os lados por
(MMC de
e
) ou fazendo cross-multiplicação:
Calcula-se:
- O valor de
correspondente é . Portanto o ponto de interseção é .
Passo 8
Resumo final e checagem rápida:
- Inversa encontrada é
. - Domínios e imagens são todos
. -
é função de primeiro grau (afim) com coeficiente angular e intercepto . - Os gráficos se cruzam no ponto
.
Resposta
Ponto de interseção: