Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=\frac{4 x-1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4x-1}{3}
e pede três coisas:
  • Determinar a inversa f^{-1}(x).
  • Verificar i) domínio e imagem de f e de f^{-1}; ii) se f^{-1} é função de primeiro grau; iii) o ponto de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{4x-1}{3}.
  • Não há figura nem restrição adicional no enunciado.

Passo 2

O que é e como achar a inversa em prática (regra passo a passo):
  • Definição: uma função g é inversa de f se, para todo x do domínio apropriado, g(f(x))=x e f(g(x))=x. Em termos práticos, para achar f^{-1} toma-se y=f(x), troca-se x por y e y por x (ou seja, inverte-se os papéis de entrada e saída) e resolve-se a equação resultante para a nova variável y. O resultado expressa y em função de x e é f^{-1}(x).
  • Observação importante sobre domínio e imagem: o domínio de f^{-1} é a imagem de f e a imagem de f^{-1} é o domínio de f.

Passo 3

Aplicando a técnica para achar f^{-1}:
  1. Escreve-se y=f(x):
y=\frac{4x-1}{3}.
  1. Troca-se x e y:
x=\frac{4y-1}{3}.
  1. Resolve-se essa equação para y. Multiplica ambos os lados por 3:
3x=4y-1.
  1. Isola-se y:
4y=3x+1,
y=\frac{3x+1}{4}.
Portanto a inversa é
f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{4}.

Passo 4

Determinar domínio e imagem de f:
  • Regra prática: para funções racionais lineares como \dfrac{4x-1}{3} não há divisão por variável (o denominador é constante 3\ne0), logo não existe restrição para x. Assim o domínio de f é o conjunto de todos os reais:
\text{Dom}(f)=\(\mathbb{R}\).
  • A imagem (conjunto de valores possíveis de saída) de uma função afim ax+b com a\neq0 é também todo \mathbb{R}, porque uma reta com coeficiente angular não nulo atinge todos os valores reais quando x varia em \mathbb{R}. Aqui o coeficiente angular é 4/3\neq0, então
\text{Im}(f)=\(\mathbb{R}\).

Passo 5

Domínio e imagem de f^{-1}:
Pela propriedade geral de inversas, a imagem de f é o domínio de f^{-1} e o domínio de f é a imagem de f^{-1}. Como já encontramos \text{Dom}(f)=\mathbb{R} e \text{Im}(f)=\mathbb{R}, segue que
\text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\qquad \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}.
Também pode-se ver diretamente na expressão f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{4} que não há restrição em x (denominador constante 4\neq0) e a reta atinge todos os reais.

Passo 6

Verificar se f^{-1} é função de primeiro grau:
  • Uma função de primeiro grau (função afim) tem forma geral g(x)=ax+b com a\neq0.
  • Escrevendo f^{-1} em forma afim:
f^{-1}(x)=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4},
tem coeficiente angular a=\tfrac{3}{4}\neq0 e termo constante b=\tfrac{1}{4}. Logo f^{-1} é sim uma função de primeiro grau.

Passo 7

Ponto(s) de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}:
  • Observação útil: os pontos de interseção entre o gráfico de uma função e o gráfico de sua inversa são exatamente os pontos que satisfazem f(x)=f^{-1}(x). Esses pontos também são pontos fixos em que f(x)=x (pois se f(x)=f^{-1}(x) e f^{-1} é inversa, a igualdade reduz-se a solução que coincide com x fixo — pode-se ver também pelo fato geométrico: interseção entre curva e sua reflexão sobre a reta y=x ocorre sobre a reta y=x).
  • Resolve-se f(x)=f^{-1}(x):
\frac{4x-1}{3}=\frac{3x+1}{4}.
Multiplicando ambos os lados por 12 (MMC de 3 e 4) ou fazendo cross-multiplicação:
4(4x-1)=3(3x+1).
Calcula-se:
16x-4=9x+3,
16x-9x=3+4,
7x=7,
x=1.
  • O valor de y correspondente é y=f(1)=\dfrac{4\cdot1-1}{3}=\dfrac{3}{3}=1. Portanto o ponto de interseção é (1,1).

Passo 8

Resumo final e checagem rápida:
  • Inversa encontrada é f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{4}.
  • Domínios e imagens são todos \mathbb{R}.
  • f^{-1} é função de primeiro grau (afim) com coeficiente angular \tfrac{3}{4} e intercepto \tfrac{1}{4}.
  • Os gráficos se cruzam no ponto (1,1).

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{4}
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},\\ \text{Im}(f)=\mathbb{R};\\ \text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\\ \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}
f^{-1} é função de primeiro grau: sim, f^{-1}(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}
Ponto de interseção: (1,1)

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