Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
Se
também é uma função de primeiro grau.
Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para “cada função
dada abaixo”:
- determinar a inversa
; - verificar se
também é uma função de primeiro grau.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma função explícita foi enviada. Portanto não há valores/expressões concretas de
para calcular inversas específicas.
Passo 2
O que significa “função inversa”? Vou explicar com calma.
- Uma função
tem inversa quando, ao aplicar e em seguida (ou na ordem inversa), volta-se ao valor inicial. Em símbolos, para todo no domínio adequado:
- Na prática, para encontrar
algébrica: escrevemos , resolvemos essa equação para em termos de , e por fim trocamos os papéis das variáveis (substituímos por ) para obter .
Passo 3
Vou mostrar o método passo a passo (a técnica que você deve usar na prova), explicando cada operação. Suponha que
seja dada por uma expressão qualquer onde possamos isolar
.
Procedimento geral:
- Escrever
. - Resolver a equação para
em função de : isolar de modo a obter para alguma expressão . - Trocar
por . Então a inversa é . - Verificar domínio e contradomínio: o domínio de
é a imagem de e vice-versa. Também verificar se é bijetora (injeta e sobrejeta) na parcela considerada, porque só funções bijetoras têm inversa função.
Passo 4
Exemplo concreto (para treinar): seja
. Vou aplicar o procedimento real passo a passo, com explicações dos motivos.
- Coloco
:
- Isolo
em função de . Subtraio dos dois lados e divido por :
Explicando: subtrair 2 “cancela” o termo constante
; dividir por 3 “cancela” a multiplicação por 3. Essas são operações inversas que deixam
sozinho.
- Troco
por para escrever a inversa:
Passo 5
Verificação por composição (confirma que encontramos a inversa correta):
- Calcular
. Primeiro substituo em pela expressão de :
- Calcular
:
Como ambas as composições retornam
, a expressão encontrada é de fato a inversa.
Passo 6
Agora a pergunta sobre “ser função de primeiro grau” (o que em várias provas aparece):
- Definição prática: por “função de primeiro grau” entende-se uma função afim da forma
com . (È linear no sentido escolar: gráfico reta não horizontal.) - Considere uma função afim geral
com . Aplicando o procedimento de inversa:
Trocando
por
,
Isto é da forma
com
e
. Como
implica
, concluímos que a inversa de uma função afim com
é também uma função de primeiro grau (ou afim).
Passo 7
Casos a observar (armadilhas comuns que caem em prova):
- Se
, então é constante; constantes não são injetoras e portanto não têm inversa função. Então nessas situações não há . - Mesmo para funções afins com
é bom mencionar domínio/contradomínio: a inversa existe globalmente se considerarmos com , pois essas são bijetoras entre e . Em problemas com domínios restritos, sempre trocar domínio e imagem corretamente.
Passo 8
Resumo didático rápido para aplicar na prova (decorar e aplicar):
- Para achar
: escrever , isolar , trocar por . - Para funções
com : a inversa é , que é também uma função de primeiro grau. - Verifique sempre se
é invertível (não é constante e é injetora no intervalo considerado).
Resposta
Não é possível determinar as inversas específicas porque as funções
não foram fornecidas.
Se com
, então
, que é uma função de primeiro grau.
Se