Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para “cada função f(x) dada abaixo”:
  1. determinar a inversa f^{-1}(x);
  2. verificar se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma função explícita foi enviada. Portanto não há valores/expressões concretas de f(x) para calcular inversas específicas.

Passo 2

O que significa “função inversa”? Vou explicar com calma.
  • Uma função f tem inversa f^{-1} quando, ao aplicar f e em seguida f^{-1} (ou na ordem inversa), volta-se ao valor inicial. Em símbolos, para todo x no domínio adequado:
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x \qquad\text{e}\qquad f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x.
  • Na prática, para encontrar f^{-1} algébrica: escrevemos y=f(x), resolvemos essa equação para x em termos de y, e por fim trocamos os papéis das variáveis (substituímos y por x) para obter f^{-1}(x).

Passo 3

Vou mostrar o método passo a passo (a técnica que você deve usar na prova), explicando cada operação. Suponha que f(x) seja dada por uma expressão qualquer onde possamos isolar x.
Procedimento geral:
  1. Escrever y=f(x).
  2. Resolver a equação para x em função de y: isolar x de modo a obter x=\Phi(y) para alguma expressão \Phi.
  3. Trocar y por x. Então a inversa é f^{-1}(x)=\Phi(x).
  4. Verificar domínio e contradomínio: o domínio de f^{-1} é a imagem de f e vice-versa. Também verificar se f é bijetora (injeta e sobrejeta) na parcela considerada, porque só funções bijetoras têm inversa função.

Passo 4

Exemplo concreto (para treinar): seja f(x)=3x+2. Vou aplicar o procedimento real passo a passo, com explicações dos motivos.
  1. Coloco y=f(x):
y=3x+2.
  1. Isolo x em função de y. Subtraio 2 dos dois lados e divido por 3:
y-2=3x \qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{y-2}{3}.
Explicando: subtrair 2 “cancela” o termo constante +2; dividir por 3 “cancela” a multiplicação por 3. Essas são operações inversas que deixam x sozinho.
  1. Troco y por x para escrever a inversa:
f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}.

Passo 5

Verificação por composição (confirma que encontramos a inversa correta):
  • Calcular f\bigl(f^{-1}(x)\bigr). Primeiro substituo x em f pela expressão de f^{-1}(x):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=3\cdot\frac{x-2}{3}+2=(x-2)+2=x.
  • Calcular f^{-1}\bigl(f(x)\bigr):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\frac{(3x+2)-2}{3}=\frac{3x}{3}=x.
Como ambas as composições retornam x, a expressão encontrada é de fato a inversa.

Passo 6

Agora a pergunta sobre “ser função de primeiro grau” (o que em várias provas aparece):
  • Definição prática: por “função de primeiro grau” entende-se uma função afim da forma \,g(x)=ax+b com a\neq0. (È linear no sentido escolar: gráfico reta não horizontal.)
  • Considere uma função afim geral \,f(x)=ax+b com a\neq0. Aplicando o procedimento de inversa:
y=ax+b \quad\Rightarrow\quad y-b=ax \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-b}{a}.
Trocando y por x,
f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}.
Isto é da forma A x + B com A=\dfrac{1}{a} e B=-\dfrac{b}{a}. Como a\neq0 implica A\neq0, concluímos que a inversa de uma função afim com a\neq0 é também uma função de primeiro grau (ou afim).

Passo 7

Casos a observar (armadilhas comuns que caem em prova):
  • Se a=0, então f(x)=b é constante; constantes não são injetoras e portanto não têm inversa função. Então nessas situações não há f^{-1}.
  • Mesmo para funções afins com a\neq0 é bom mencionar domínio/contradomínio: a inversa existe globalmente se considerarmos f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} com a\neq0, pois essas são bijetoras entre \mathbb{R} e \mathbb{R}. Em problemas com domínios restritos, sempre trocar domínio e imagem corretamente.

Passo 8

Resumo didático rápido para aplicar na prova (decorar e aplicar):
  • Para achar f^{-1}: escrever y=f(x), isolar x, trocar y por x.
  • Para funções f(x)=ax+b com a\neq0: a inversa é f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}, que é também uma função de primeiro grau.
  • Verifique sempre se f é invertível (não é constante e é injetora no intervalo considerado).

Resposta

Não é possível determinar as inversas específicas porque as funções f(x) não foram fornecidas.
Se f(x)=ax+b com a\neq0, então f^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a}, que é uma função de primeiro grau.

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