Questão 4. Resolva os problemas:
Qual o algarismo das unidades de
?
Qual o algarismo das unidades de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o algarismo das unidades de
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A soma é
. - É pedido apenas o algarismo das unidades (ou seja, o resto da soma ao dividir por
).\n
Não se resolve nada neste passo: só foi identificado o que é pedido e qual é a expressão dada.
Passo 2
O que é
(fatorial) e os primeiros valores — para a prova convém decorar ou saber calcular rápido:
Calculemos os primeiros
para ver o padrão das unidades:
Observe os algarismos das unidades respectivos:
.
Passo 3
Por que a partir de
o fatorial termina em zero? Explicação detalhada e didática:
- Um número termina em zero quando é múltiplo de
. -
. Então, para que um produto termine em zero, basta que ele contenha pelo menos um fator e um fator . - Em
para sempre aparecem ambos: existem números pares (que fornecem fator ) e existe o múltiplo de (o próprio , ou se for maior). - Portanto, para todo
temos que é múltiplo de , ou em linguagem de congruência:
Passo 4
Uso da observação para simplificar a soma:
Pelo passo anterior, cada termo do somatório
é congruente a
módulo
. Logo, esses termos não alteram o algarismo das unidades da soma total. Portanto, para determinar o algarismo das unidades basta calcular:
Passo 5
Calculemos passo a passo a soma dos quatro primeiros fatoriais:
A soma total
tem, portanto, o mesmo algarismo das unidades que
.