Questão 4. Resolva os problemas:
Qual o algarismo das unidades de \sum_{i=1}^{223} i! ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o algarismo das unidades de \displaystyle \sum_{i=1}^{223} i!.\n
Informações dadas:
  • A soma é \displaystyle \sum_{i=1}^{223} i!.
  • É pedido apenas o algarismo das unidades (ou seja, o resto da soma ao dividir por 10).\n
    Não se resolve nada neste passo: só foi identificado o que é pedido e qual é a expressão dada.

Passo 2

O que é n! (fatorial) e os primeiros valores — para a prova convém decorar ou saber calcular rápido:
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n.
Calculemos os primeiros n! para ver o padrão das unidades:
1! = 1, \qquad 2! = 2, \qquad 3! = 6, \qquad 4! = 24, \qquad 5! = 120, \qquad 6! = 720.
Observe os algarismos das unidades respectivos: 1,2,6,4,0,0,\dots.

Passo 3

Por que a partir de 5! o fatorial termina em zero? Explicação detalhada e didática:
  • Um número termina em zero quando é múltiplo de 10.
  • 10 = 2\cdot 5. Então, para que um produto termine em zero, basta que ele contenha pelo menos um fator 2 e um fator 5.
  • Em n! para n\ge 5 sempre aparecem ambos: existem números pares (que fornecem fator 2) e existe o múltiplo de 5 (o próprio 5, ou 10,15,\dots se n for maior).
  • Portanto, para todo n\ge 5 temos que n! é múltiplo de 10, ou em linguagem de congruência:
\text{para } n\ge 5:\quad n! \equiv 0 \pmod{10}.

Passo 4

Uso da observação para simplificar a soma:
\sum_{i=1}^{223} i! = 1!+2!+3!+4!+\sum_{i=5}^{223} i!.
Pelo passo anterior, cada termo do somatório \sum_{i=5}^{223} i! é congruente a 0 módulo 10. Logo, esses termos não alteram o algarismo das unidades da soma total. Portanto, para determinar o algarismo das unidades basta calcular:
1!+2!+3!+4!.

Passo 5

Calculemos passo a passo a soma dos quatro primeiros fatoriais:
1! = 1,
1!+2! = 1+2 = 3,
1!+2!+3! = 3+6 = 9,
1!+2!+3!+4! = 9+24 = 33.
A soma total \displaystyle \sum_{i=1}^{223} i! tem, portanto, o mesmo algarismo das unidades que 33.

Resposta

3

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