Para cada função f(x) dada abaixo, determine sua inversa f^{-1}(x). Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de f(x) e f^{-1}(x).
ii. Se f^{-1}(x) também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de f(x) e f^{-1}(x).
Sendo:
f(x)=-x+6

Passo 1

O enunciado pede, para f(x)=-x+6:
  • Determinar a inversa f^{-1}(x).
  • Verificar (i) domínio e imagem de f e de f^{-1}; (ii) se f^{-1} é função de primeiro grau; (iii) o ponto (ou pontos) de interseção entre os gráficos de f e f^{-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=-x+6.
  • Não há restrição explícita de domínio, logo inicialmente consideramos o domínio natural (todos os reais), a menos que surja alguma razão para restringir.

Passo 2

O que é a função inversa e como encontrá-la (passo-a-passo didático):
  • Definição informal: f^{-1} é a função que “desfaz” o que f faz. Se y=f(x), então x=f^{-1}(y).
  • Procedimento padrão para encontrar f^{-1}:
    1. Escrever y=f(x).
    2. Trocar x e y nas equações (isso corresponde a refletir o gráfico na reta y=x).
    3. Resolver a equação resultante para y. O y obtido é f^{-1}(x).
  • Vou aplicar esse procedimento passo a passo à função dada.

Passo 3

Encontrando a inversa:
  • Começo escrevendo y=f(x):
y = -x + 6
  • Troco x e y:
x = -y + 6
  • Agora resolvo para y:
-x = -y + 6 - x \quad\text{(reorganizando)}
Melhor reorganizar de forma direta:
x = -y + 6 \quad\Rightarrow\quad -y = x - 6 \quad\Rightarrow\quad y = 6 - x.
  • Concluo que
f^{-1}(x)=6-x.
Observação: 6-x é algebraicamente igual a -x+6. Portanto, neste caso f^{-1}(x)=f(x): a função é sua própria inversa (chama-se involução).

Passo 4

Domínio e imagem de f (e de f^{-1}):
  • Fato geral para funções lineares do tipo g(x)=ax+b com a\neq 0:
    • Domínio natural é \mathbb{R} (todos os reais).
    • Imagem (conjunto de valores atingidos) também é \mathbb{R}, porque ao variar x por todos os reais a expressão ax+b atinge todos os reais.
  • Aplicando a f(x)=-x+6:
    • Coeficiente angular a=-1\neq 0, então
    \text{Dom}(f)=\mathbb{R},\qquad \text{Im}(f)=\mathbb{R}.
  • Como f^{-1}(x)=6-x tem a mesma forma (coeficiente -1), valem as mesmas conclusões: \text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\qquad \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}.
  • Observação didática: dizer domínio \mathbb{R} significa que qualquer número real pode ser colocado na função; imagem \mathbb{R} significa que para qualquer valor real y existe algum x tal que f(x)=y.

Passo 5

Verificar se f^{-1} é função de primeiro grau:
  • Definição prática: função de primeiro grau tem forma ax+b com a\neq 0.
  • Aqui f^{-1}(x)=6-x pode ser reescrita como -x+6, que é exatamente da forma ax+b com a=-1 e b=6.
  • Portanto: f^{-1}\\ \text{é função de primeiro grau (sim).}éçã

Passo 6

Interseção entre os gráficos de f e f^{-1} — raciocínio e cálculo:
  • Em geral, um ponto (a,b) pertence simultaneamente ao gráfico de f e ao de f^{-1} se b=f(a) e b=f^{-1}(a). Isso implica f(a)=f^{-1}(a), que equivale a ter f(f(a))=a. Em particular, pontos fixos (soluções de f(x)=x) sempre estão na interseção.
  • No nosso caso descobrimos que f^{-1}=f (a função é sua própria inversa). Isso significa que os dois gráficos são exactamente o mesmo conjunto de pontos: o gráfico de f coincide com o gráfico de f^{-1}.
  • Consequência: a interseção entre os gráficos não é um único ponto, e sim todo o próprio gráfico. Ou seja, todos os pontos (x,-x+6) pertencem simultaneamente a ambos os gráficos.
  • Se quiser um ponto especial que está sobre a reta identidade y=x (ponto fixo), resolve-se f(x)=x:
-x+6 = x \quad\Rightarrow\quad 2x = 6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Então o ponto fixo é (3,3). Esse ponto faz parte da interseção (pois todo ponto do gráfico faz), e é o único ponto do gráfico que está também sobre a reta y=x.

Passo 7

Resumo e observações finais (didáticas e motivadoras):
  • Aprendeu-se a achar inversa trocando x e y e resolvendo para y.
  • Viu-se que funções lineares com coeficiente não nulo têm domínio e imagem iguais a \mathbb{R}.
  • Observação amigável: é comum gostar de casos onde f=f^{-1} — chamamos essas funções de involuções. Elas podem ter muitos pares de pontos simétricos trocados (como (0,6) e (6,0)), além de pontos fixos (aqui (3,3)). Força aí — você já fez o mais importante: entender como montar a inversa e interpretar geometricamente!

Resposta

f^{-1}(x)=6-x
\text{Dom}(f)=\mathbb{R},\\ \text{Im}(f)=\mathbb{R} \quad\text{e}\quad \text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R},\\ \text{Im}(f^{-1})=\mathbb{R}
Sim, f^{-1}(x) é função de primeiro grau (coeficiente angular -1, ordenada na origem 6).
Os gráficos coincidem; a interseção é todo o conjunto \{(x,-x+6)\mid x\in\mathbb{R}\}. O ponto fixo sobre y=x é (3,3).

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