Para cada função
dada abaixo, determine sua inversa
. Além disso, verifique:
i. O domínio e a imagem de
e
.
ii. Se
também é uma função de primeiro grau.
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
e
.
Sendo:
i. O domínio e a imagem de
ii. Se
iii. O ponto de interseção entre os gráficos de
Passo 1
O enunciado pede, para
:
- Determinar a inversa
. - Verificar (i) domínio e imagem de
e de ; (ii) se é função de primeiro grau; (iii) o ponto (ou pontos) de interseção entre os gráficos de e .
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição explícita de domínio, logo inicialmente consideramos o domínio natural (todos os reais), a menos que surja alguma razão para restringir.
Passo 2
O que é a função inversa e como encontrá-la (passo-a-passo didático):
- Definição informal:
é a função que “desfaz” o que faz. Se , então . - Procedimento padrão para encontrar
: - Escrever
. - Trocar
e nas equações (isso corresponde a refletir o gráfico na reta ). - Resolver a equação resultante para
. O obtido é .
- Escrever
- Vou aplicar esse procedimento passo a passo à função dada.
Passo 3
Encontrando a inversa:
- Começo escrevendo
:
- Troco
e :
- Agora resolvo para
:
Melhor reorganizar de forma direta:
- Concluo que
Observação:
é algebraicamente igual a
. Portanto, neste caso
: a função é sua própria inversa (chama-se involução).
Passo 4
Domínio e imagem de
(e de
):
- Fato geral para funções lineares do tipo
com : - Domínio natural é
(todos os reais). - Imagem (conjunto de valores atingidos) também é
, porque ao variar por todos os reais a expressão atinge todos os reais.
- Domínio natural é
- Aplicando a
: - Coeficiente angular
, então
- Coeficiente angular
- Como
tem a mesma forma (coeficiente ), valem as mesmas conclusões: - Observação didática: dizer domínio
significa que qualquer número real pode ser colocado na função; imagem significa que para qualquer valor real existe algum tal que .
Passo 5
Verificar se
é função de primeiro grau:
- Definição prática: função de primeiro grau tem forma
com . - Aqui
pode ser reescrita como , que é exatamente da forma com e . - Portanto:
Passo 6
Interseção entre os gráficos de
e
— raciocínio e cálculo:
- Em geral, um ponto
pertence simultaneamente ao gráfico de e ao de se e . Isso implica , que equivale a ter . Em particular, pontos fixos (soluções de ) sempre estão na interseção. - No nosso caso descobrimos que
(a função é sua própria inversa). Isso significa que os dois gráficos são exactamente o mesmo conjunto de pontos: o gráfico de coincide com o gráfico de . - Consequência: a interseção entre os gráficos não é um único ponto, e sim todo o próprio gráfico. Ou seja, todos os pontos
pertencem simultaneamente a ambos os gráficos. - Se quiser um ponto especial que está sobre a reta identidade
(ponto fixo), resolve-se :
Então o ponto fixo é
. Esse ponto faz parte da interseção (pois todo ponto do gráfico faz), e é o único ponto do gráfico que está também sobre a reta
.
Passo 7
Resumo e observações finais (didáticas e motivadoras):
- Aprendeu-se a achar inversa trocando
e e resolvendo para . - Viu-se que funções lineares com coeficiente não nulo têm domínio e imagem iguais a
. - Observação amigável: é comum gostar de casos onde
— chamamos essas funções de involuções. Elas podem ter muitos pares de pontos simétricos trocados (como e ), além de pontos fixos (aqui ). Força aí — você já fez o mais importante: entender como montar a inversa e interpretar geometricamente!
Resposta
Sim,
Os gráficos coincidem; a interseção é todo o conjunto