Questão 5. Qual o algarismo das unidades do número
! ?
Passo 1
O problema pede o algarismo das unidades do número
.
Informações dadas (explicitando os símbolos que aparecem no enunciado):
Informações dadas (explicitando os símbolos que aparecem no enunciado):
- Está presente o produto duplo-fatorial
. - Aparecem também os fatoriais pequenos
e o número . - A pergunta é: qual é o algarismo das unidades do resultado dessa soma?
Passo 2
Entender o que é double factorial (duplo fatorial) e uma identidade útil.
Definição:
Definição:
- Para
ímpar, é o produto de todos os inteiros ímpares positivos até : por exemplo . - Para
par, é o produto de todos os inteiros pares positivos até : por exemplo .
Uma identidade importante (fácil de ver): para inteiro positivo
,
Justificativa curta e clara:
é o produto
. Separando os fatores em pares (os pares formam
se
é par, ou os pares formam
se
é ímpar), e os ímpares formam
. Multiplicando os produtos dos pares e dos ímpares obtém-se exatamente o produto completo
. Assim a identidade vale.
Aplicando ao nosso caso: como
é ímpar,
Passo 3
Reduzir o problema: então queremos o algarismo das unidades de
Agora analisar
. Para qualquer
ocorre que
é múltiplo de
, portanto termina em
. Explicação: entre os fatores de
há pelo menos um
e um
(por exemplo os números
e
aparecem quando
), e
produz um zero na unidade. Logo
Passo 4
Calcular os fatoriais pequenos e sua soma, prestando atenção nas unidades:
Somando:
O algarismo das unidades dessa soma é
.
Passo 5
Somar as contribuições das unidades: como
tem unidade
e
tem unidade
, o algarismo das unidades do total é