Questão 5. Qual o algarismo das unidades do número 2021!!\cdot 2020!!+4!+3!+2!+1 ! ?

Passo 1

O problema pede o algarismo das unidades do número \,2021!!\cdot 2020!!+4!+3!+2!+1\,.
Informações dadas (explicitando os símbolos que aparecem no enunciado):
  • Está presente o produto duplo-fatorial \,2021!!\cdot 2020!!\,.
  • Aparecem também os fatoriais pequenos \,4!,\,3!,\,2!\, e o número 1.
  • A pergunta é: qual é o algarismo das unidades do resultado dessa soma?

Passo 2

Entender o que é double factorial (duplo fatorial) e uma identidade útil.
Definição:
  • Para n ímpar, n!! é o produto de todos os inteiros ímpares positivos até n: por exemplo 7!!=7\cdot5\cdot3\cdot1.
  • Para n par, n!! é o produto de todos os inteiros pares positivos até n: por exemplo 8!!=8\cdot6\cdot4\cdot2.
Uma identidade importante (fácil de ver): para inteiro positivo n,
n!!\cdot (n-1)!! = n!.
Justificativa curta e clara: n! é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots n. Separando os fatores em pares (os pares formam (n-1)!! se n é par, ou os pares formam (n-1)!! se n é ímpar), e os ímpares formam n!!. Multiplicando os produtos dos pares e dos ímpares obtém-se exatamente o produto completo 1\cdot2\cdot\ldots\cdot n. Assim a identidade vale.
Aplicando ao nosso caso: como 2021 é ímpar,
2021!!\cdot 2020!! = 2021!.

Passo 3

Reduzir o problema: então queremos o algarismo das unidades de
2021! + 4! + 3! + 2! + 1.
Agora analisar 2021!. Para qualquer n\ge 5 ocorre que n! é múltiplo de 10, portanto termina em 0. Explicação: entre os fatores de n! há pelo menos um 2 e um 5 (por exemplo os números 2 e 5 aparecem quando n\ge5), e 2\cdot5=10 produz um zero na unidade. Logo
\text{o algarismo das unidades de }2021! \text{ é }0.é

Passo 4

Calcular os fatoriais pequenos e sua soma, prestando atenção nas unidades:
4! = 24,\qquad 3! = 6,\qquad 2! = 2,\qquad 1 = 1.
Somando:
24+6+2+1 = 33.
O algarismo das unidades dessa soma é 3.

Passo 5

Somar as contribuições das unidades: como 2021! tem unidade 0 e 4!+3!+2!+1 tem unidade 3, o algarismo das unidades do total é
0 + 3 = 3.

Resposta

3

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