Obtenha a derivada de cada função abaixo.
f(x)=\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente e as derivadas de \operatorname{sen}(x) e \cos(x).

Passo 2

Identificamos o numerador u(x)=\operatorname{sen}(x) e o denominador v(x)=\cos(x). Pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)]=\cos(x), \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=\frac{\cos(x)\,\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\,(-\operatorname{sen}(x))}{\cos^2(x)}
temos
f'(x)=\frac{\cos^2(x)+\operatorname{sen}^2(x)}{\cos^2(x)}.

Passo 5

Como \cos^2(x)+\operatorname{sen}^2(x)=1, concluímos
f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.

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