Vamos estudar a transformada de Laplace da função
para alguns valores fracionários de
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
, para
.
© Mostre que
, para
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
© Mostre que
Passo 1
Vamos estudar a transformada de Laplace de funções tipo
, onde no item (a) precisamos calcular a integral de Gauss
, e nos itens (b) e © usar a definição de transformada de Laplace e reconhecer a função Gamma.
Passo 2
Para mostrar que
, definimos
Então
Em coordenadas polares no primeiro quadrante (
,
, jacobiano
,
,
), temos
Fazendo
, obtemos
Logo
e portanto
.
Passo 3
Para o item (b), calculamos a transformada de Laplace de
:
Fazendo a substituição
(logo
e
), vem
Como
, concluímos
Passo 4
Para o item ©, fazemos o mesmo para
:
Com
e
, obtemos
Sabendo que
, resulta
Resposta
(a)
; (b)
; ©
.