Vamos estudar a transformada de Laplace da função f(t)=t^alpha para alguns valores fracionários de alpha.
(a) Mostre que integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi / 2.
(b) Mostre que s>0, para s>0.
© Mostre que , para .

Passo 1

Vamos estudar a transformada de Laplace de funções tipo t^alpha, onde no item (a) precisamos calcular a integral de Gauss integral0^infty e^-x^2dx, e nos itens (b) e © usar a definição de transformada de Laplace e reconhecer a função Gamma.

Passo 2

Para mostrar que integral0^infty e^-x^2dx = raizpi2, definimos
I = integral0^infty e^-x^2 , dx
Então
I^2 = integral0^inftyintegral0^infty e^-(x^2+y^2) ,dx,dy
Em coordenadas polares no primeiro quadrante ( x=rcostheta, y=rsintheta, jacobiano r, thetain[0,tfracpi2], rin[0,infty)), temos
I^2 = integral0^pi/2integral0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta = l(integral0^pi/2 dthetar)l(integral0^infty r e^-r^2 drr)
Fazendo u=r^2,du=2r,dr, obtemos
integral0^infty r e^-r^2 dr = 12integral0^infty e^-u du = 12
Logo
I^2 = pi2cdot12 = pi4,
e portanto I=raizpi/2.

Passo 3

Para o item (b), calculamos a transformada de Laplace de t^-1/2:
mathscrL(t^-1/2) = integral0^infty t^-1/2 e^-st ,dt
Fazendo a substituição u = st (logo dt=du/s e t^-1/2=(u/s)^-1/2=s^1/2u^-1/2), vem
mathscrL(t^-1/2) = integral0^infty s^1/2u^-1/2e^-u dus = s^-1/2integral0^infty u^-1/2e^-udu = s^-1/2Gammal(tfrac12r)
Como Gamma(1/2)=raizpi, concluímos
mathscrL(t^-1/2) = raizpis

Passo 4

Para o item ©, fazemos o mesmo para t^1/2:
mathscrL(t^1/2) = integral0^infty t^1/2 e^-st ,dt
Com u=st e t^1/2=(u/s)^1/2=s^-1/2u^1/2, obtemos
mathscrL(t^1/2) = integral0^infty s^-1/2u^1/2e^-u dus = s^-3/2integral0^infty u^1/2e^-udu = s^-3/2Gammal(tfrac32r)
Sabendo que Gamma(3/2)=12raizpi, resulta
mathscrL(t^1/2) = raizpi2,s^3/2

Resposta

(a) raizpi/2; (b) raizpi/s; © raizpi/(2,s^3/2).

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