Use as técnicas apresentadas em aula para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^inftyl(tfrac18 + tfrac1n(n+1)r)
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos usar o teste do termo geral (ou teste da condição necessária) e, em seguida, decompor a série em duas partes conhecidas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o teste do termo geral. Definindo
an = 18 + 1n(n+1),
calculamos
limntoinftyan = limntoinftyl(tfrac18 + tfrac1n(n+1)r) = tfrac18 + 0 = tfrac18
Como esse limite é diferente de zero, pelo teste do termo geral a série já diverge.

Passo 3

Para reforçar, decompondo a soma parcial até N:
sumn=1^N an = sumn=1^N 18 , + , sumn=1^N 1n(n+1)
A primeira parte é
sumn=1^N 18 = N8,
que tende a infinito quando Ntoinfty, ou seja, diverge. A segunda parte é telescópica, pois
1n(n+1) = 1n - 1n+1
e converge para 1. Mas como a soma de uma série divergente com uma convergente é divergente, concluímos novamente a divergência.

Passo 4

Portanto, pela condição necessária e pela decomposição, a série diverge definitivamente.

Resposta

A série diverge.

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