Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.

Passo 1

O exercício pede a derivada direcional de f(x,y)=\sin x \cos y ao longo do vetor v=(4,-3) no ponto P=(tfracpi3,-tfrac2pi3). Para isso, vamos precisar do gradiente de f e de normalizar o vetor de direção para um vetor unitário.

Passo 2

Para calcular o gradiente de f, derivamos em relação a x e y e obtemos:
partial fpartial x = cos x cos y, partial fpartial y = -sin x sin y
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y) = (cos x cos y,,-sin x sin y)

Passo 3

Agora, avaliamos o gradiente em P. Usamos cos(tfracpi3)=tfrac12, cos(-tfrac2pi3)=-tfrac12, sin(tfracpi3)=tfracraiz32 e sin(-tfrac2pi3)=-tfracraiz32. Assim:

Passo 4

Para a derivada direcional, normalizamos v. Como |v|=raiz4^2+(-3)^2=5, temos
u=v|v|=l(tfrac45,-tfrac35r)

Passo 5

Por fim, calculamos o produto escalar entre nabla f(P) e u:
Duf(P)=nabla f(P)cdotu=l(-tfrac14,tfrac34r)cdotl(tfrac45,-tfrac35r)=-tfrac1320

Resposta

-13/20

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