Mostre que f:(0, infty) R se mathscrL f(s) for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular f(t)=t^3 sen t se:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ( mathscrL f)^{(n)}(s) = \mathscr{L}((-t)^n f(t))(s) usando a definição da transformada de Laplace e as condições de crescimento exponencial de f. Em seguida, aplicar esse resultado para calcular mathscrLt^3sin t(s). A matéria envolvida é transformada de Laplace e propriedade de diferenciação sob o sinal integral.

Passo 2

Prova da propriedade para n=1: pela definição
mathscrLf(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt
Derivando em s sob o sinal de integral e justificando pela condição de crescimento, obtemos
ddsmathscrLf(s)=integral0^infty partialpartial sl(e^-stf(t)r),dt = -integral0^infty t e^-stf(t),dt = -mathscrLt f(t)(s)
Extensão por indução: suponha (mathscrL f)^(k)(s) = mathscrL(-t)^k f(t)(s). Aplicando mais uma derivada, e usando o caso n=1 com f substituído por (-t)^k f(t), conclui-se que (mathscrL f)^(k+1)(s) = mathscrL(-t)^k+1 f(t)(s). Assim a propriedade vale para todo ninN.

Passo 3

Para f(t)=t^3sin t, a propriedade diz que
mathscrLt^3sin t(s) = (-1)^3d^3ds^3mathscrLsin t(s)
Sabemos que mathscrLsin t(s)=1s^2+1.

Passo 4

Calculamos as derivadas sucessivas de F(s)=1s^2+1:
F'(s)=-2s(s^2+1)^2,
F''(s)=2(3s^2-1)(s^2+1)^3,
F'''(s)=24s(1-s^2)(s^2+1)^4
Aplicando a propriedade final, temos mathscrLt^3sin t(s) = -F'''(s), onde F'''(s) foi calculado acima.

Resposta

mathscrLt^3sin t(s) = 24,s,l(s^2-1r)(s^2+1)^4

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