Mostre que
se
for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular
se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que (
)^{(n)}(s) = \mathscr{L}((-t)^n f(t))(s) usando a definição da transformada de Laplace e as condições de crescimento exponencial de
. Em seguida, aplicar esse resultado para calcular
. A matéria envolvida é transformada de Laplace e propriedade de diferenciação sob o sinal integral.
Passo 2
Prova da propriedade para
: pela definição
Derivando em
sob o sinal de integral e justificando pela condição de crescimento, obtemos
Extensão por indução: suponha
. Aplicando mais uma derivada, e usando o caso
com
substituído por
, conclui-se que
. Assim a propriedade vale para todo
.
Passo 3
Para
, a propriedade diz que
Sabemos que
.
Passo 4
Calculamos as derivadas sucessivas de
:
Aplicando a propriedade final, temos
, onde
foi calculado acima.