Para cada função f(x, y) calcule a derivada direcional de f ao longo do vetor dado e avalie a derivada direcional no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto P ao longo de um vetor unidade dado. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e derivada direcional, e vamos precisar usar o gradiente de f e o produto escalar com o vetor direção.

Passo 2

A derivada direcional de f em P ao longo de um vetor unidade vec a é dada por Dvec af(P)=nabla f(P)cdotvec a. Aqui, nabla f=(fx,fy), onde fx e fy são as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=2x^2-3xy+y^2+15. Temos
fx=partial fpartial x=4x-3y,
fy=partial fpartial y=-3x+2y

Passo 4

Avalie as derivadas parciais no ponto P=(1,1):
fx(1,1)=4cdot1-3cdot1=1,
fy(1,1)=-3cdot1+2cdot1=-1
Logo, nabla f(1,1)=(1,-1).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar de nabla f(1,1) com vec a=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2):
Dvec af(1,1)=(1,-1)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)=1cdottfrac1raiz2+(-1)cdottfrac1raiz2=0

Resposta

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