5 Qual o erro na seguinte “demonstração” de que a série divergente
tem soma 0 ?
Passo 1
O exercício pergunta qual é o erro na “demonstração” que agrupa a série alternante divergente
em pares e conclui que sua soma é zero. O conteúdo envolve séries numéricas, convergência e operações (agrupamento) em séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o comportamento das somas parciais sem nenhum agrupamento. As somas parciais
ficam assim:
Passo 3
Como vemos,
oscila entre 1 e 0. Não existe um limite único quando
. Logo, a série diverge e não tem soma definida no sentido usual.
Passo 4
A “demonstração” faz um agrupamento infinito em pares:
Passo 5
e trata cada par como 0, somando infinitos zeros para obter zero. Porém, agrupar termos e usar associatividade em séries infinitas só é permitido quando a série converge absolutamente. A série
sequer converge condicionalmente, quem dirá absolutamente.
Passo 6
Ao agrupar um número infinito de termos, estamos mudando a forma de tomar o limite das somas parciais e, consequentemente, alterando o valor (ou, neste caso, induzindo um valor inexistente). Essa manipulação é inválida em séries divergentes.
Passo 7
Portanto, o erro está em usar o agrupamento (associatividade) de forma livre em uma série que não converge. Somente séries absolutamente convergentes permitem tais operações sem alterar o resultado.
Resposta
O erro é agrupar infinitamente os termos de uma série que não converge, usando propriedade de associatividade sem que haja convergência (nem condicional nem absoluta). Isso não é permitido e muda o resultado.