5 Qual o erro na seguinte “demonstração” de que a série divergente sumn=1^infty(-1)^n+1 tem soma 0 ?
sumi=1^infty(-1)^n+1=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+ldots=0+0+0+ldots=0

Passo 1

O exercício pergunta qual é o erro na “demonstração” que agrupa a série alternante divergente sumn=1^infty(-1)^n+1 em pares e conclui que sua soma é zero. O conteúdo envolve séries numéricas, convergência e operações (agrupamento) em séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o comportamento das somas parciais sem nenhum agrupamento. As somas parciais sk=sumn=1^k(-1)^n+1 ficam assim:
s1=1, s2=1-1=0, s3=1-1+1=1, s4=1-1+1-1=0, dots

Passo 3

Como vemos, sk oscila entre 1 e 0. Não existe um limite único quando ktoinfty. Logo, a série diverge e não tem soma definida no sentido usual.

Passo 4

A “demonstração” faz um agrupamento infinito em pares:
(1-1)+(1-1)+(1-1)+cdots

Passo 5

e trata cada par como 0, somando infinitos zeros para obter zero. Porém, agrupar termos e usar associatividade em séries infinitas só é permitido quando a série converge absolutamente. A série 1-1+1-1+cdots sequer converge condicionalmente, quem dirá absolutamente.

Passo 6

Ao agrupar um número infinito de termos, estamos mudando a forma de tomar o limite das somas parciais e, consequentemente, alterando o valor (ou, neste caso, induzindo um valor inexistente). Essa manipulação é inválida em séries divergentes.

Passo 7

Portanto, o erro está em usar o agrupamento (associatividade) de forma livre em uma série que não converge. Somente séries absolutamente convergentes permitem tais operações sem alterar o resultado.

Resposta

O erro é agrupar infinitamente os termos de uma série que não converge, usando propriedade de associatividade sem que haja convergência (nem condicional nem absoluta). Isso não é permitido e muda o resultado.

Exercícios relacionados