Mostre que
se
for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular
se:
Passo 1
Nesta questão a gente vai trabalhar com a transformada de Laplace e mostrar a propriedade de diferenciação em relação a
:
- Conteúdo: transformada de Laplace e diferenciação sob o sinal de integral.
- Precisamos usar que
tem crescimento exponencial (para poder trocar derivada e integral) e depois aplicar para .
Passo 2
Começamos pelo caso
. Pela definição
como
cresce no máximo exponencialmente, podemos derivar em
dentro do integral:
Passo 3
Agora usamos indução. Suponha que
Derivando mais uma vez:
Logo vale para todo
.
Passo 4
Para aplicar ao caso
, note que
então pela propriedade
Sabemos também que
Passo 5
Basta então derivar duas vezes
:
Esse resultado é justamente
.