Mostre que f:(0, infty) R se mathscrL f(s) for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular f(t)=t^2 cos t se:

Passo 1

Nesta questão a gente vai trabalhar com a transformada de Laplace e mostrar a propriedade de diferenciação em relação a s:
  • Conteúdo: transformada de Laplace e diferenciação sob o sinal de integral.
  • Precisamos usar que f tem crescimento exponencial (para poder trocar derivada e integral) e depois aplicar para f(t)=t^2cos t.

Passo 2

Começamos pelo caso n=1. Pela definição
(mathscrLf)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
como f cresce no máximo exponencialmente, podemos derivar em s dentro do integral:
dds(mathscrLf)(s)=integral0^inftypartialpartial sl(e^-str)f(t),dt=integral0^infty(-t)e^-stf(t),dt=mathscrLl(-t,f(t)r)

Passo 3

Agora usamos indução. Suponha que
(mathscrLf)^(n)(s)=mathscrLl((-t)^n f(t)r)
Derivando mais uma vez:
(mathscrLf)^(n+1)(s)=ddsmathscrLl((-t)^n f(t)r)=mathscrLl(-tcdot(-t)^n f(t)r)=mathscrLl((-t)^n+1f(t)r)
Logo vale para todo ninN.

Passo 4

Para aplicar ao caso f(t)=t^2cos t, note que
t^2cos t=(-t)^2cos t,
então pela propriedade
mathscrLl(t^2cos tr)=(mathscrL[cos t])''(s)
Sabemos também que
mathscrL[cos t](s)=integral0^inftye^-stcos t,dt=ss^2+1,Re(s)>0

Passo 5

Basta então derivar duas vezes F(s)=ss^2+1:
F'(s)=(s^2+1)-2s^2(s^2+1)^2=1-s^2(s^2+1)^2,
F''(s)=ddsl(1-s^2(s^2+1)^2r)=2s(s^2-3)(s^2+1)^3
Esse resultado é justamente mathscrL(t^2cos t).

Resposta

mathscrLl(t^2cos tr)(s)=2s(s^2-3)(s^2+1)^3

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