Para cada função
a seguir, descreva contornos fechados simples
no plano complexo para os quais, garantidamente,
:
(ii)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar contornos fechados simples
tais que
O conteúdo aqui é o Teorema de Cauchy: se uma função é analítica em uma região que contém
e seu interior, então a integral ao redor de
vale zero.
Passo 2
Identificamos os possíveis pontos que quebram a analiticidade de
O único problema surge quando o denominador se anula, isto é,
Passo 3
Fora desses pontos
, tanto
quanto
são funções holomorfas, logo
é analítica em qualquer região que não contenha nenhum
. Assim, pelo Teorema de Cauchy, se escolhermos um contorno
que não envolva nenhum destes pontos, teremos
Passo 4
Por exemplo, a circunferência
é um contorno simples fechado que não contém nenhum dos pontos
(pois
para todo
, e para
temos
onde
é bem definida). Logo,
Resposta
Uma escolha concreta é
,
pois nesse contorno e em seu interior não há pontos , garantindo por Cauchy que
.
pois nesse contorno e em seu interior não há pontos