Para cada função f(z) a seguir, descreva contornos fechados simples C no plano complexo para os quais, garantidamente, \oint_{\mathrm{C}} \mathrm{f}(\mathrm{z}) \mathrm{dz}=0 :
(ii) f(z)=\frac{\operatorname{cosh} (2 z)}{1-e^{z}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar contornos fechados simples C tais que
\oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(2z)}{1-e^{z}}\,dz=0.
O conteúdo aqui é o Teorema de Cauchy: se uma função é analítica em uma região que contém C e seu interior, então a integral ao redor de C vale zero.

Passo 2

Identificamos os possíveis pontos que quebram a analiticidade de
f(z)=\frac{\operatorname{cosh}(2z)}{1-e^{z}}.
O único problema surge quando o denominador se anula, isto é,
1 - e^{z} = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{z}=1 \quad\Longrightarrow\quad z = 2\pi i k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Fora desses pontos z=2\pi i k, tanto \operatorname{cosh}(2z) quanto 1-e^{z} são funções holomorfas, logo f(z) é analítica em qualquer região que não contenha nenhum 2\pi i k. Assim, pelo Teorema de Cauchy, se escolhermos um contorno C que não envolva nenhum destes pontos, teremos
\oint_{C}f(z)\,dz=0.

Passo 4

Por exemplo, a circunferência
C:\;|z| = \pi
é um contorno simples fechado que não contém nenhum dos pontos 2\pi i k (pois |2\pi i k|\ge2\pi> \pi para todo k\ne0, e para k=0 temos z=0 onde f é bem definida). Logo,
\oint_{|z|=\pi}\frac{\operatorname{cosh}(2z)}{1-e^{z}}\,dz=0.

Resposta

Uma escolha concreta é
\displaystyle C=\{z:|z|=\pi\},
pois nesse contorno e em seu interior não há pontos z=2\pi i k, garantindo por Cauchy que
\displaystyle \oint_{C}\frac{\operatorname{cosh}(2z)}{1-e^{z}}\,dz=0.

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