Para cada função f(z) a seguir, descreva contornos fechados simples C no plano complexo para os quais, garantidamente, \oint_{\mathrm{C}} \mathrm{f}(\mathrm{z}) \mathrm{dz}=0 :
(iii) f(z)=\ln \left(z+z_{0}\right), em que \ln (.) é o ramo principal do logaritmo complexo e z_{0}), uma constante complexa.

Passo 1

O enunciado pede contornos simples fechados C tais que
\oint_{C}\ln(z+z_{0})\,dz = 0,
onde \ln(w) é o ramo principal do logaritmo complexo e z_{0} é constante. Vamos usar o Teorema de Cauchy, que garante integral nula sempre que a função for holomorfa numa região simplesmente conexa que contém C e seu interior.

Passo 2

Precisamos identificar onde \ln(z+z_{0}) é holomorfa. Definindo w=z+z_{0}, o ramo principal
\ln(w)=\ln|w|+i\Arg(w),\quad \Arg(w)\in(-\pi,\pi)
possui singularidade em w=0 e corte de ramo no semieixo real negativo
w\in(-\infty,0]\,.
Em termos de z, isso corresponde à semirreta
\{\,z: z+z_{0}=t\le0\}\;=\;\{\,z=-z_{0}+t : t\le0\}\,.
Fora dessa semirreta, \ln(z+z_{0}) é holomorfa.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy, se escolhermos C de modo que não cruze nem toque a semirreta de corte \{z=-z_{0}+t,\;t\le0\} e também não inclua o ponto de ramificação z=-z_{0} em seu interior, então \ln(z+z_{0}) será holomorfa em todo o interior de C e teremos
\oint_{C}\ln(z+z_{0})\,dz=0.

Passo 4

Um exemplo concreto de tais contornos é dado por círculos
C_{d,r} \;=\;\bigl\{\,z:\bigl|\,z -(-z_{0}+d)\bigr|=r\bigr\},
onde escolhemos d>0 e r<d. Nesse caso, para todo z em C_{d,r} vale
z+z_{0} \;=\;(-z_{0}+d)+(z-(-z_{0}+d))+z_{0} \;=\;d + (z-(-z_{0}+d)),
de modo que
\Re\bigl(z+z_{0}\bigr)\;>\;d - r \;>\;0,
i.e.\ o disco fica inteiramente no semiplano \Re(w)>0 em w-plano, longe do corte (- \infty,0]. Assim \ln(z+z_{0}) é holomorfa em toda a região fechada por C_{d,r}.

Resposta

Qualquer contorno simples fechado C inteiramente contido na região
\{\,z\in\mathbb{C}\mid z+z_{0}\notin(-\infty,0]\,\}
garante
\oint_{C}\ln(z+z_{0})\,dz = 0.
Em particular, os círculos
\bigl|\,z -(-z_{0}+d)\bigr| = r,\quad d>0,\;r<d,
são exemplos explícitos de tais contornos.

Exercícios relacionados