Questão 2: (2,5 pontos) Seja f(z)=z^{n} \exp \left(\frac{1}{z^{m}}\right), em que n e m são inteiros positivos e f(z) é definida em um domínio que contém z=0.
(a) (Valor: 1,0 ponto) Determine á série de Laurent da função f(z), centrada na origem.
(b) (Valor: 1,5 ponto) Calcule o valor da integral
\int_{|z|=2} f(z) d z
utilizando o Teorema dos Resíduos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(z)=z^{n}\exp\bigl(\tfrac{1}{z^{m}}\bigr)
com n,m\in\mathbb{Z}^{+}:
– em (a) a série de Laurent centrada em 0;
– em (b) o valor da integral \displaystyle\int_{|z|=2}f(z)\,dz pelo Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Para obter a série de Laurent, lembramos que a expansão em série de Taylor de \exp(w) é
\exp(w)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}.
Aqui usamos w=\tfrac{1}{z^{m}}, logo
\exp\Bigl(\tfrac{1}{z^{m}}\Bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\,\frac{1}{z^{m k}}.

Passo 3

Multiplicando por z^{n}, obtemos a série de Laurent de f(z):
f(z) =z^{n}\exp\Bigl(\tfrac{1}{z^{m}}\Bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\,z^{n-mk}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int_{|z|=2}f(z)\,dz pelo Teorema dos Resíduos, precisamos do coeficiente da potência z^{-1} na série de Laurent, pois
\mathrm{Res}(f,0) =\text{coeficiente de }z^{-1}.
Na soma \sum_{k\ge0}\tfrac{1}{k!}z^{n-mk}, o termo z^{-1} ocorre quando
n-mk=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad mk=n+1.

Passo 5

Se existir k\in\mathbb{Z}_{\ge0} tal que k=(n+1)/m, então esse termo é único e seu coeficiente é 1/k!. Caso contrário, não há termo z^{-1} e o resíduo é zero.

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\;\mathrm{Res}(f,0).
Logo, se m\mid(n+1) e k=(n+1)/m, então
\int_{|z|=2}f(z)\,dz =2\pi i\;\frac{1}{k!} =2\pi i\;\frac{1}{\bigl(\tfrac{n+1}{m}\bigr)!},
caso contrário,
\displaystyle\int_{|z|=2}f(z)\,dz=0.

Resposta

(a) A série de Laurent de f centrada em 0 é
f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\,z^{n-mk}.
(b)
\int_{|z|=2}f(z)\,dz =\begin{cases} 2\pi i\,\displaystyle\frac{1}{\bigl(\tfrac{n+1}{m}\bigr)!},&\text{se }m\mid(n+1),\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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