Questão 2: (2,5 pontos) Seja
, em que
e
são inteiros positivos e
é definida em um domínio que contém
.
(a) (Valor: 1,0 ponto) Determine á série de Laurent da função
, centrada na origem.
(b) (Valor: 1,5 ponto) Calcule o valor da integral
utilizando o Teorema dos Resíduos.
(a) (Valor: 1,0 ponto) Determine á série de Laurent da função
(b) (Valor: 1,5 ponto) Calcule o valor da integral
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
com
:
– em (a) a série de Laurent centrada em ;
– em (b) o valor da integral pelo Teorema dos Resíduos.
– em (a) a série de Laurent centrada em
– em (b) o valor da integral
Passo 2
Para obter a série de Laurent, lembramos que a expansão em série de Taylor de
é
Aqui usamos
, logo
Passo 3
Multiplicando por
, obtemos a série de Laurent de
:
Passo 4
Para calcular
pelo Teorema dos Resíduos, precisamos do coeficiente da potência
na série de Laurent, pois
Na soma
, o termo
ocorre quando
Passo 5
Se existir
tal que
, então esse termo é único e seu coeficiente é
. Caso contrário, não há termo
e o resíduo é zero.
Passo 6
Pelo Teorema dos Resíduos,
Logo, se
e
, então
caso contrário,
.
Resposta
(a) A série de Laurent de
centrada em
é
(b)