Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=1+x^{2} y e^{y} e pelos planos z=0, x= \pm 1, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas (x,y,z), está limitado superiormente pela superfície
z = 1 + x^{2}y\,e^{y}
e inferiormente pelo plano \,z=0, com -1 \le x \le 1 e 0 \le y \le 1.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla:
V = \iint_{D}\bigl(\text{altura}\bigr)\,dA
onde a altura é z_{\text{topo}}-z_{\text{fundo}} = (1+x^{2}y\,e^{y}) - 0.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V \;=\; \int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=0}^{1}\bigl(1 + x^{2}y\,e^{y}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em y:
\int_{0}^{1}\bigl(1 + x^{2}y\,e^{y}\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}1\,dy \;+\; x^{2}\int_{0}^{1}y\,e^{y}\,dy.
Calculamos
\int_{0}^{1}1\,dy = 1,
e por partes em \int_{0}^{1}y\,e^{y}\,dy:
u = y,\;dv=e^{y}dy \;\Longrightarrow\; \int_{0}^{1}y\,e^{y}dy = \bigl[y\,e^{y}\bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}e^{y}dy = \bigl(e - 0\bigr) - \bigl(e-1\bigr) = 1.
Logo o integrando em y fica
1 + x^{2}\cdot 1 = 1 + x^{2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
V = \int_{-1}^{1}(1 + x^{2})\,dx = \int_{-1}^{1}1\,dx + \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}.

Resposta

O volume do sólido é
V = \frac{8}{3}.

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