Questão 4: (2,5 pontos) Um interessante teorema da análise complexa rege que “O ponto limite dos zeros de uma função analítica é uma singularidade essencial da função, a menos que a função seja identicamente zero.” Comprove este teorema com as funções
f_{1}(z)=\sin \left(\frac{1}{z+1}\right) \text { e } f_{2}(z)=\operatorname{cosh} \left(\frac{1}{z-1}\right) .
Para isto, determine (i) as sequências formadas pelos zeros de f_{1}(z) e de f_{2}(z), (ii) o ponto limite de cada sequência, e (iii) expanda cada função em uma série adequada, identifique e classifique sua(s) singularidade(s).

Passo 1

O enunciado pede que, para
f_{1}(z)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{z+1}\bigr) \quad\text{e}\quad f_{2}(z)=\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{1}{z-1}\bigr),
a) encontremos as sequências de zeros de cada função, b) identifiquemos o ponto limite dessas sequências e c) façamos a expansão em série de Laurent em torno desse ponto, classificando a singularidade. Vamos usar o fato de que zeros de \sin w são w=k\pi e zeros de \operatorname{cosh} w são w=i\pi(2k+1)/2, mais a definição de singularidade essencial via série de Laurent com infinitos termos de ordem negativa.

Passo 2

Para f_{1}(z) precisamos resolver
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{z+1}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{z+1}=k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Daí
z_{k}=-1+\frac{1}{k\pi},\quad k\neq0.
À medida que |k|\to\infty, 1/(k\pi)\to0 e z_{k}\to -1. Logo a sequência de zeros de f_{1} é
\{\,z_{k}=-1+\tfrac{1}{k\pi}\mid k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}
e seu ponto limite é z=-1.

Passo 3

Para estudar a singularidade em z=-1 escrevemos w=z+1. Então
f_{1}(z)=\sin\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr)
e usamos a expansão de \sin v em série de Taylor:
\sin v = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\,\frac{v^{2m+1}}{(2m+1)!}.
Fazendo v=1/w obtemos a série de Laurent em torno de w=0:
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{w}\bigr) =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\,\frac{1}{(2m+1)!}\,\frac{1}{w^{2m+1}}.
Há infinitos termos com potências negativas de w, portanto w=0 (isto é, z=-1) é uma singularidade essencial.

Passo 4

Para f_{2}(z) resolvemos
\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{1}{z-1}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{z-1}=\frac{i\pi(2k+1)}{2},
com k\in\mathbb{Z}. Assim
z_{k}=1+\frac{2}{i\pi(2k+1)} =1-\frac{2\,i}{\pi\,(2k+1)}.
Quando |k|\to\infty temos z_{k}\to1, logo z=1 é o ponto limite da sequência de zeros de f_{2}.

Passo 5

Para ver a natureza da singularidade em z=1 definimos u=z-1. Então
f_{2}(z)=\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{1}{u}\bigr),
e a expansão de Taylor de \operatorname{cosh} v é
\operatorname{cosh} v = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{v^{2m}}{(2m)!}.
Com v=1/u obtemos a série de Laurent em torno de u=0:
\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{1}{u}\bigr) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m)!}\,\frac{1}{u^{2m}}.
Há infinitos termos de ordem negativa em u, logo u=0 (isto é, z=1) é singularidade essencial.

Resposta

(i) Zeros de f_{1}: z_{k}=-1+\tfrac{1}{k\pi}, de k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
Zeros de f_{2}: z_{k}=1-\tfrac{2\,i}{\pi\,(2k+1)}, k\in\mathbb{Z}.
(ii) Ponto limite de \{z_{k}\} em f_{1} é z=-1.
Ponto limite de \{z_{k}\} em f_{2} é z=1.
(iii) As expansões de Laurent em torno desses pontos têm infinitos termos de ordem negativa, portanto ambos z=-1 e z=1 são singularidades essenciais de f_{1} e f_{2}, respectivamente.

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