Questão 4: (2,5 pontos) Um interessante teorema da análise complexa rege que “O ponto limite dos zeros de uma função analítica é uma singularidade essencial da função, a menos que a função seja identicamente zero.” Comprove este teorema com as funções
Para isto, determine (i) as sequências formadas pelos zeros de
e de
, (ii) o ponto limite de cada sequência, e (iii) expanda cada função em uma série adequada, identifique e classifique sua(s) singularidade(s).
Passo 1
O enunciado pede que, para
a) encontremos as sequências de zeros de cada função, b) identifiquemos o ponto limite dessas sequências e c) façamos a expansão em série de Laurent em torno desse ponto, classificando a singularidade. Vamos usar o fato de que zeros de
são
e zeros de
são
, mais a definição de singularidade essencial via série de Laurent com infinitos termos de ordem negativa.
Passo 2
Para
precisamos resolver
com
. Daí
À medida que
,
e
. Logo a sequência de zeros de
é
e seu ponto limite é
.
Passo 3
Para estudar a singularidade em
escrevemos
. Então
e usamos a expansão de
em série de Taylor:
Fazendo
obtemos a série de Laurent em torno de
:
Há infinitos termos com potências negativas de
, portanto
(isto é,
) é uma singularidade essencial.
Passo 4
Para
resolvemos
com
. Assim
Quando
temos
, logo
é o ponto limite da sequência de zeros de
.
Passo 5
Para ver a natureza da singularidade em
definimos
. Então
e a expansão de Taylor de
é
Com
obtemos a série de Laurent em torno de
:
Há infinitos termos de ordem negativa em
, logo
(isto é,
) é singularidade essencial.
Resposta
(i) Zeros de
:
, de
.
Zeros de :
,
.
Zeros de
(ii) Ponto limite de
em
é
.
Ponto limite de em
é
.
Ponto limite de
(iii) As expansões de Laurent em torno desses pontos têm infinitos termos de ordem negativa, portanto ambos
e
são singularidades essenciais de
e
, respectivamente.