Calcule, caso existam, os limites abaixo
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}-2 x^{3}+1}{3 x^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite (quando x tende a -\infty):
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{4}-2x^{3}+1}{3x^{4}+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma razão de dois polinômios: numerador x^{4}-2x^{3}+1 e denominador 3x^{4}+1.
  • A variável x vai para -\infty (valores muito negativos).
    O objetivo é encontrar o valor do limite, se ele existir.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para limites de frações de polinômios quando x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{4}). Isso transforma a expressão em termos que incluem frações como 1/x e 1/x^{4}, que tendem a 0 quando |x|\to\infty. Assim fica fácil ver o valor do limite. Vou aplicar exatamente isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{4} (válido para x\neq0; estamos considerando x\to -\infty, então não há problema):
\frac{x^{4}-2x^{3}+1}{3x^{4}+1} = \frac{\dfrac{x^{4}}{x^{4}}-\dfrac{2x^{3}}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{3x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{4}}} = \frac{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{4}}}{3+\dfrac{1}{x^{4}}}.

Passo 4

Analisar os termos que dependem de x: quando x\to -\infty vale
\frac{2}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{x^{4}}\to 0.
Observação sobre sinais: \dfrac{2}{x} tende a 0 vindo de valores negativos porque x é negativo, mas o valor limite é 0. Já \dfrac{1}{x^{4}} é sempre não negativo e também tende a 0. Portanto, substituindo os termos que vão a zero na expressão da fração obtemos o limite da forma
\lim_{x\to -\infty}\frac{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{4}}}{3+\dfrac{1}{x^{4}}} = \frac{1-0+0}{3+0}.

Passo 5

Concluindo a conta do passo anterior, o limite vale
\frac{1}{3}.
Uma interpretação alternativa (mesma conclusão com argumento mais rápido): como os polinômios do numerador e denominador têm o mesmo grau ( 4), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, isto é, \dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados