Calcule, caso existam, os limites abaixo
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite (quando
tende a
):
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- É uma razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - A variável
vai para (valores muito negativos).
O objetivo é encontrar o valor do limite, se ele existir.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para limites de frações de polinômios quando
, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma forma prática e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso transforma a expressão em termos que incluem frações como
e
, que tendem a
quando
. Assim fica fácil ver o valor do limite. Vou aplicar exatamente isso passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
; estamos considerando
, então não há problema):
Passo 4
Analisar os termos que dependem de
: quando
vale
Observação sobre sinais:
tende a
vindo de valores negativos porque
é negativo, mas o valor limite é
. Já
é sempre não negativo e também tende a
. Portanto, substituindo os termos que vão a zero na expressão da fração obtemos o limite da forma
Passo 5
Concluindo a conta do passo anterior, o limite vale
Uma interpretação alternativa (mesma conclusão com argumento mais rápido): como os polinômios do numerador e denominador têm o mesmo grau (
), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, isto é,
.