Para cada função a seguir, obtenha fx, fy, fx x, fy y, fx y e fy x.
f(x, y)=a x+b yc x+d y

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=a,x+b,yc,x+d,y
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, usando a regra do quociente e depois derivando novamente para obter fxx,fyy,fxy,fyx.

Passo 2

Vamos primeiro achar
N(x,y)=a,x+b,y, D(x,y)=c,x+d,y,
então
Nx=a,;Ny=b, Dx=c,;Dy=d
Pela regra do quociente,
fx=Nx,D - N,DxD^2 =a(c,x+d,y)-(a,x+b,y),c(c,x+d,y)^2 =(a,d-b,c),y(c,x+d,y)^2
De modo análogo,
fy=Ny,D - N,DyD^2 =b(c,x+d,y)-(a,x+b,y),d(c,x+d,y)^2 =(b,c-a,d),x(c,x+d,y)^2 =-(a,d-b,c),x(c,x+d,y)^2

Passo 3

Agora fxx=partialpartial xfx. Como
fx=(a,d-b,c),y,(c,x+d,y)^-2,
tratamos (a,d-b,c),y como constante e aplicamos a derivada de (c,x+d,y)^-2:
fxx=(a,d-b,c),ycdot(-2),c,(c,x+d,y)^-3 =-2,c,(a,d-b,c),y(c,x+d,y)^3

Passo 4

Para fyy=partialpartial yfy, note que
fy=-(a,d-b,c),x,(c,x+d,y)^-2
Derivando em y:
fyy=-(a,d-b,c),xcdot(-2),d,(c,x+d,y)^-3 =2,d,(a,d-b,c),x(c,x+d,y)^3

Passo 5

Para fxy=partialpartial yfx, escreva
fx=(a,d-b,c),y,(c,x+d,y)^-2
Usando produto e cadeia em y:
fxy=(a,d-b,c)l[(c,x+d,y)^-2 +ycdot(-2),d,(c,x+d,y)^-3r] =(a,d-b,c)l(c,x - d,yr)(c,x+d,y)^3

Passo 6

Para fyx=partialpartial xfy, comece com
fy=-(a,d-b,c),x,(c,x+d,y)^-2,
e derive em x:
fyx=-(a,d-b,c)l[(c,x+d,y)^-2 +xcdot(-2),c,(c,x+d,y)^-3r] =(a,d-b,c)l(c,x - d,yr)(c,x+d,y)^3

Resposta

fx=(a,d-b,c),y(c,x+d,y)^2, fy=-(a,d-b,c),x(c,x+d,y)^2,
fxx=-2,c,(a,d-b,c),y(c,x+d,y)^3, fyy=2,d,(a,d-b,c),x(c,x+d,y)^3,
fxy=fyx =(a,d-b,c),l(c,x - d,yr)(c,x+d,y)^3

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