Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente r(t) no ponto t0 indicado:
f(t)=t-1e^t+1 i+(t^2-cos t) j+t1-t^2 k, t0=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a reta tangente à função vetorial f(t) no ponto onde t = 0. Isso envolve calcular a posição da função nesse ponto e a sua derivada nesse mesmo ponto, que vai nos dar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto f(0). Basta substituir t = 0 na função:
f(0) = 0-1e^0+1 i + (0^2-cos 0) j + 01-0^2 k
Simplificando cada componente:
f(0) = -11+1 i + (0 - 1) j + 0 k = -12 i - j + 0 k

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada f,'(t). Vamos derivar cada componente da função em relação a t:
f,'(t) = ddt(t-1e^t+1) i + ddt(t^2 - cos t) j + ddt(t1-t^2) k
Calculando cada derivada:
  1. Componente i:
ddt(t-1e^t+1) = (1)(e^t+1) - (t-1)e^t(e^t+1)^2 = e^t + 1 - t e^t + e^t(e^t+1)^2 = 2e^t + 1 - t e^t(e^t+1)^2
  1. Componente j:
ddt(t^2 - cos t) = 2t + sin t
  1. Componente k:
ddt(t1-t^2) = (1)(1 - t^2) - t(-2t)(1 - t^2)^2 = 1 - t^2 + 2t^2(1 - t^2)^2 = 1 + t^2(1 - t^2)^2
Então, a derivada completa é:
f,'(t) = (2e^t + 1 - t e^t(e^t+1)^2) i + (2t + sin t) j + (1 + t^2(1 - t^2)^2) k

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada em t = 0:
  1. Componente i:
2e^0 + 1 - 0 cdot e^0(e^0+1)^2 = 2 cdot 1 + 1 - 0(1+1)^2 = 34
  1. Componente j:
2 cdot 0 + sin 0 = 0 + 0 = 0
  1. Componente k:
1 + 0^2(1 - 0^2)^2 = 11 = 1
Então,
f,'(0) = 34 i + 0 j + 1 k

Passo 5

Com f(0) e f,'(0) em mãos, podemos montar a reta tangente usando a fórmula:
r(t) = f(0) + f,'(0) cdot (t - t0)
Como t0 = 0, fica:
r(t) = (-12 i - j) + (34 i + 0 j + 1 k) t

Resposta

A reta tangente r(t) no ponto t0 = 0 é dada por:
r(t) = (-12 + 34 t) i - j + t k

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