Para cada função vetorial abaixo determine a reta tangente vec(r)(t) no ponto t0 indicado:
f(t) = t^3 * i + arctg(t) * j + t * k, t0 = raiz(3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial que depende de um parâmetro . O objetivo é encontrar a reta tangente a essa função no ponto onde . Para isso, vamos precisar calcular a posição da função nesse ponto e sua derivada, que nos dará a direção da tangente.

Passo 2

Vamos começar encontrando a posição da função quando . A função dada é:
Substituindo por :
Calculando cada componente:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função , que nos dará o vetor tangente à curva em qualquer ponto . A derivada de é:
Derivando cada componente:
Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 5

Com a posição no ponto e o vetor tangente, podemos escrever a equação da reta tangente. A reta tangente pode ser expressa como:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A reta tangente à função no ponto é dada por:

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