Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia: (f)
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função
usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Aqui, temos uma função trigonométrica composta com uma função polinomial e, em seguida, elevada ao cubo.
Passo 2
Primeiro, identifique as camadas da função composta. Podemos ver que temos três camadas:
- A função interna
. - A função do cosseno
, onde . - A função externa
, onde .
Passo 3
Vamos começar derivando a camada mais externa, que é
. Usamos a regra do poder: se
, então
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia. Sabemos que a derivada de
é
, onde
. Então:
Passo 5
Finalmente, derivamos
. A derivada de
é
. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos juntar todas as partes. Substituindo as derivadas que encontramos nos passos anteriores:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função
é: