Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia: (f) cos(x^3)^3

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Aqui, temos uma função trigonométrica composta com uma função polinomial e, em seguida, elevada ao cubo.

Passo 2

Primeiro, identifique as camadas da função composta. Podemos ver que temos três camadas:
  1. A função interna .
  2. A função do cosseno , onde .
  3. A função externa , onde .

Passo 3

Vamos começar derivando a camada mais externa, que é . Usamos a regra do poder: se , então . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Novamente, aplicamos a Regra da Cadeia. Sabemos que a derivada de é , onde . Então:

Passo 5

Finalmente, derivamos . A derivada de é . Portanto:

Passo 6

Agora, vamos juntar todas as partes. Substituindo as derivadas que encontramos nos passos anteriores:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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